Question

12．在直角坐标系中，直线y=x+2与y轴交于点A₁，按如图方式作正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂C₁、A₃B₃C₁C₂…，A₁、A₂、A₃…在直线y=x+2上，点C₁、C₂、C₃…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S₁、S₂、S₃、…S_n，则S_n的值为2^2n-1（用含n的代数式表示，n为正整数）．

Answer 1

分析 结合正方形的性质结合直线的解析式可得出：A₂B₁=OC₁，A₃B₂=C₁C₂，A₄B₃=C₂C₃，…，结合三角形的面积公式即可得出：S₁=$\frac{1}{2}$OC₁²=2，S₂=$\frac{1}{2}$C₁C₂²=8，S₃=$\frac{1}{2}$C₂C₃²=32，…，根据面积的变化可找出变化规律“S_n=2^2n-1（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．

解答 解：令一次函数y=x+2中x=0，则y=2，
∴点A₁的坐标为（0，2），OA₁=2．
∵四边形A_nB_nC_nC_n-1（n为正整数）均为正方形，
∴A₁B₁=OC₁=2，A₂B₂=C₁C₂=4，A₃B₃=C₂C₃=6，…．
令一次函数y=x+2中x=2，则y=4，
即A₂C₁=4，
∴A₂B₁=A₂C₁-A₁B₁=2=A₁B₁，
∴tan∠A₂A₁B₁=1．
∵A_nC_n-1⊥x轴，
∴tan∠A_n+1A_nB_n=1．
∴A₂B₁=OC₁，A₃B₂=C₁C₂，A₄B₃=C₂C₃，…．
∴S₁=$\frac{1}{2}$OC₁²=2，S₂=$\frac{1}{2}$C₁C₂²=8，S₃=$\frac{1}{2}$C₂C₃²=32，…，
∴S_n=2^2n-1（n为正整数）．
故答案为：2^2n-1．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、三角形的面积公式的知识，此题属规律性题目，比较复杂．