某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形时.有如下探讨:甲同学:我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形．乙同学:我知道边数为3时.它是正三角形,我想.边数为5时.它可能也是正五边形-丙同学:我发现边数为6时.它也不一定是正六边形．如图2.△ABC是正三角形.弧AD.弧BE.弧CF均相等.这样构造� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨：
甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形．
乙同学：我知道边数为3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形…
丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形．如图2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，这样构造的六边形ADBECF不是正六边形．

（1）如图1，若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，则∠ABC=

°，并简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由；
（2）如图2，请证明丙同学构造的六边形各内角相等；
（3）根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n（n≥3，n为整数）”的关系，提出你的猜想（不需证明）．

考点：圆的综合题

专题：探究型

分析：（1）运用n边形的内角和定理就可求出∠ABC的度数；已知圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，要证该五边形为正五边形，只需证该五边形的各边均相等，只需利用弧与圆周角之间的等量关系就可解决问题．
（2）由△ABC是正三角形可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，根据圆内接四边形的性质可得∠AFC、∠ADB、∠BEC均为120°，由

可得∠ABD=∠CAF，即可求出∠DAF=120°，同理可得∠DBE=∠ECF=120°，问题得以解决．
（3）依据对（1）、（2）的探索积累的经验就可提出合理的猜想．

解答：解：（1）∵五边形的内角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠ABC=

540°

=108°．
故答案为：108．

理由：如图1，
∵∠A=∠B
∴

BCE

CEA

，
∴

BCE

CDE

CEA

CDE

，
∴

，
∴BC=AE．
同理可得：BC=DE，DE=AB，AB=CD，CD=AE，
∴BC=DE=AB=CD=AE，
∴五边形ABCDE是正五边形；

（2）证明：如图2，

∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵四边形ABCF是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AFC=180°，
∴∠AFC=120°．
同理可得：∠ADB=120°，∠BEC=120°．
∵∠ADB=120°，
∴∠DAB+∠ABD=60°．
∵

，
∴∠ABD=∠CAF，
∴∠DAB+∠CAF=60°，
∴∠DAF=∠DAB+∠CAF+∠BAC=120°．
同理可得：∠DBE=120°，∠ECF=120°，
∴∠AFC=∠ADB=∠BEC=∠DAF=∠DBE=∠ECF=120°，
故图2中六边形各角相等；

（3）由（1）、（2）可提出以下猜想：
当n（n≥3，n为整数）是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形；
当n（n≥3，n为整数）时偶数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形．

点评：本题主要探究的是各内角都相等的圆内接多边形是正多边形的构成条件，用到了弧与圆周角之间的等量关系、圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、n边形内角和定理等知识，而运用弧与圆周角之间的等量关系是解决本题的关键；本题充分体现了合作与探究的新课程理念，是一道好题．