Question

如图在等腰Rt△A₀B₀C₀中，A₀（0，0）、C₀（-12，0），B₀C₀⊥A₀C₀且B₀C₀=A₀C₀，以点P（9，0）为圆心，PO为半径的作⊙P，△A₀B₀C₀以每秒钟一个单位的速度沿x轴向右移动，移动时间记为t秒，移动的三角形记为△ABC．（点A₀对应A，点B₀对应B，点C₀对应C）
（1）如图，若点A为⊙P与x轴的另一个交点，BO交⊙P于D，AD交BC于E．
①求证：AE=BO；
②过C作CM⊥AE于M，交AB于N，求证：∠AEC=∠BEN；
（2）若F为AB边上的点，且AF=8

2

，若线段AF与⊙P有且只有一个公共点，求t的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题,全等三角形的判定与性质,勾股定理,切线的性质,相似三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值

专题：综合题

分析：（1）如图1，要证AE=BO，只需证到△OCB≌△ECA即可．
（2）如图2，易证△ACN∽△AOB，从而可求出AN及BN的长，进而可证到△EBN∽△CAN，则有∠BEN=∠ACN．易证∠AEC=∠ACN，即可得到∠AEC=∠BEN．
（3）只需先考虑临界位置[点F在⊙P上（图3、图4）、点A在⊙P上（图2）、线段AF与⊙P相切（图5）]所对应的t的值，就可求出符合条件的t的取值范围．

解答：解：（1）证明：如图1，
∵OA是⊙P的直径，
∴∠ODA=90°，即∠DOA+∠DAO=90°．
∵∠BCA=90°，即∠BOC+∠OBC=90°．
∴∠DAO=∠OBC．
在△OCB和△ECA中，

∠OBC=∠EAC BC=AC ∠OCB=∠ECA

．
∴△OCB≌△ECA．
∴BO=AE．

（2）证明：如图2，
∵A₀（0，0）、C₀（-12，0），∴A₀C₀=12．
∴BC=AC=A₀C₀=12．
∴AB=

BC2+CA2

=12

2

．
∵点P的坐标为（9，0），
∴OA=2OP=18．
∴OC=6．
∵△OCB≌△ECA，
∴OC=EC=6．
∴BE=6．
∵CM⊥AE，即∠AMC=90°，∠ODA=90°，
∴∠AMC=∠ODA．
∴CN∥OB．
∴△ACN∽△AOB．
∴

AN

AB

=

AC

AO

．
∴AN=8

2

．
∴BN=4

2

．
∵

BN

BE

=

4 2

6

=

2 2

3

，

AN

AC

=

8 2

12

=

2 2

3

，
∴

BN

BE

=

AN

AC

．
∵∠EBN=∠CAN=45°，
∴△EBN∽△CAN．
∴∠BEN=∠ACN．
∵∠AEC=90°-∠EAC=∠ACN，
∴∠AEC=∠BEN．

（3）①当点F在⊙P上时，
Ⅰ．如图3，过点F作FH⊥OA于H，连接PF．
在Rt△AHF中，
∵AH=8，∠FAH=45°，AF=8

2

，
∴FH=AF•sin∠FAH=8

2

×

2

2

=8，
AH=AF•cos∠FAH=8

2

×

2

2

=8．
在Rt△PHF中，
PH=

PF2-FH2

=

92-82

=

17

．
∴PA=AH-PH=8-

17

．
∴A₀A=OA=OP+PA=9+8-

17

=17-

17

．
此时，t=17-

17

．
Ⅱ．如图4，过点F作FH⊥OA于H，连接PF．
同理可得：AH=8，PH=

17

．
∴PA=AH+PH=8+

17

．
∴A₀A=OA=OP+PA=9+8+

17

=17+

17

．
此时，t=17+

17

．
②当点A在⊙P上时，如图2．
则有A₀A=OA=18．
此时，t=18．
③当线段AF与⊙P相切于点Q时，连接PQ，如图5．
则有PQ=9，∠PQA=90°．
在Rt△PQA中，
sin∠QAP=

PQ

PA

=

9

PA

=

2

2

．
解得：PA=9

2

．
∴A₀A=OA=OP+PA=9+9

2

．
此时，t=9+9

2

．
综上所述：当线段AF与⊙P有且只有一个公共点时，t的取值范围是0≤t≤17-

17

或18≤t＜17+

17

或t=9+9

2

．

点评：本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，而考虑临界位置是求未知数取值范围常用的一种方法，应掌握它．