Question

4．如图．在△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，连结AD，交BC于点E，连结DB，若∠C=∠D，AE=8，DE=2．求AC的长．

Answer 1

分析 由AB=AC知∠ABE=∠C，结合∠C=∠D得∠ABE=∠D，利用∠BAE=∠DAB证△ABE∽△ADB得$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}$，从而得出AB=AC=4$\sqrt{5}$．

解答 解：如图，

∵AB=AC，
∴∠ABE=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠ABE=∠D，
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{AB}{8+2}$=$\frac{8}{AB}$，
解得：AB=4$\sqrt{5}$，
∴AC=AB=4$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．