题目内容
16．
对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+$\frac{b}{k}$，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（2，4）的“2属派生点”为P′（2+$\frac{4}{2}$，2×2+4），即P′（4，8）．（1）①点P（2，-1）的“2属派生点”P′的坐标为（-2，-4）；
②若点P的“k属派生点”的坐标为P′（-2，-2），请写出一个符合条件的点P的坐标（1，-3）；
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则k的值为±1；
（3）如图，点Q的坐标为（0，2$\sqrt{3}$），点A在函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＜0）的图象上，且点A是点B的“$\sqrt{3}$属派生点”，当线段BQ最短时，求B点的坐标．
分析 （1）①只需把a=2，b=-1，k=2代入（a+$\frac{b}{k}$，ka+b）即可求出P′的坐标．
②由P′（-2，-2）可求出k=1，从而有a+b=-2．任取一个a就可求出对应的b，从而得到符合条件的点P的一个坐标．
（2）设点P坐标为（a，0），从而有P′（a，ka），显然PP′⊥OP，由条件可得OP=PP′，从而求出k．
（3）设点B的坐标为（m，n），从而表示出点A的坐标（m+$\frac{n}{\sqrt{3}}$，$\sqrt{3}$m+n），点A在函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＜0）的图象上，点B的坐标为（m，-$\sqrt{3}$m-$\sqrt{3}$）；然后将BQ2用m的代数式表示，根据二次函数的最值性，求出BQ最小时对应的m的值，从而求出对应的点B的坐标．
解答 解：（1）①当a=-1，b=-2，k=2时，
a+$\frac{b}{k}$=-1+$\frac{-2}{2}$=-2，ka+b=2×（-1）-2=-4．
∴点P（-1，-2）的“2属派生点”P′的坐标为（-2，-4）．
故答案为：（-2，-4）．
②由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{b}{k}=-2}\\{ka+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：k=1，
∴a+b=-2，
∴b=-2-a．
当a=1时，b=-3，此时点P的坐标为（1，-3）；
故答案为：（1，-3）．
（2）∵点P在x轴的正半轴上，
∴b=0，a＞0．
∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka）．
∴PP′⊥OP．
∵△OPP′为等腰直角三角形，
∴OP=PP′．
∴a=±ka．
∵a＞0，
∴k=±1．
故答案为：±1．
（3）设点B的坐标为（m，n），
∵点A是点B的“$\sqrt{3}$属派生点”，
∴点A的坐标为（m+$\frac{n}{\sqrt{3}}$，$\sqrt{3}$m+n），
∵点A在函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＜0）的图象上，
∴（m+$\frac{n}{\sqrt{3}}$ ）（$\sqrt{3}$m+n）=$\sqrt{3}$，且m+$\frac{n}{\sqrt{3}}$＜0．
整理得：（$\sqrt{3}$m+n）2=3，
∵m+$\frac{n}{\sqrt{3}}$＜0，
∴$\sqrt{3}$m+n=-$\sqrt{3}$，
∴n=-$\sqrt{3}$m-$\sqrt{3}$，
∴点B的坐标为（m，-$\sqrt{3}$m-$\sqrt{3}$）；
过点B作BH⊥OQ，垂足为H，如图所示，
∵点Q的坐标为（0，2$\sqrt{3}$），
∴QH2=（-$\sqrt{3}$m$-\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$）2=（$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$）2，BH2=m2，
∴BQ2=BH2+QH2=m2+（$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$）2=4m2+18m+27=4（m+$\frac{9}{4}$）2+$\frac{27}{4}$，
∵4＞0，
∴当m=-$\frac{9}{4}$时，BQ2最小，即BQ最小．
此时n=-$\sqrt{3}$m-$\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$；
∴当线段BQ最短时，B点坐标为（-$\frac{9}{4}$，$\frac{5\sqrt{3}}{4}$）．
点评 本题考查了反比例图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、二次函数的最值、待定系数法等知识；考查了新定义下的阅读理解能力，有一定的综合性．第（2）题中由OP=PP′得到a与ka之间的关系是本题的易错点，需要注意；另外，第（3）题中求出QH2是m的二次函数是关键，即可求出QB最短时对应点B的坐标．
如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E．
阅读下面一段材料，运用相关知识解决问题．