Question

已知一次函数y=-x+1与抛物线y=

1

3

x²+bx+c交于A（0，1），B两点，B点纵坐标为10，抛物线的顶点为C．
（1）求b，c的值；
（2）判断△ABC的形状并说明理由；
（3）点D、E分别为线段AB、BC上任意一点，连接CD，取CD的中点F，连接AF，EF．当四边形ADEF为平行四边形时，求平行四边形ADEF的周长．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A坐标代入抛物线解析式可求出c的值，把B的纵坐标代入直线解析式可求出其横坐标，再代入抛物线解析式即可求出b的值；
（2）△ABC的形状是直角三角形，分别作BG垂直于y轴，CH垂直于y轴，依次求∠BAG=45°，∠CAH=45°，进而得到∠BAC=90°；
（3）首先利用勾股定理易求AB的长，进而得到AC的长，利用三角形中位线的性质即可求出EF的长，再利用勾股定理即可求出AF的长，继而求出平行四边形ADEF的周长．

解答：解：（1）把A（0，1），代入y=

1

3

x²+bx+c，
解得c=1，
将y=10代入y=-x+1，得x=-9，
∴B点坐标为（-9，10），
将B （-9，10），代入y=

1

3

x²+bx+c
得b=2；
（2）△ABC是直角三角形，
理由如下：
∵y=

1

3

x²+2x+1=

1

3

（x+3）²-2，
∴点C的坐标为（-3，-2），
分别作BG垂直于y轴，CH垂直于y轴
∵B=AG=9，
∴∠BAG=45°，
同理∠CAH=45°，
∴∠CAB=45°
∴△ABC是直角三角形；

（3）∵BG=AG=9，
∴AB=9

2

，
∵CH=AH=3，
∴AC=3

2

，
∵四边形ADEF为平行四边形，
∴AD∥EF，
又∵F为CD中点，
∴CE=BE，
即EF为△DBC的中位线，EF
∴EF=AD=

1

2

BD，
∵AB=9

2

，
∴EF=AD=3

2

在Rt△ACD中，AD=3

2

，CD=3

2

，
∴CD=6，
∴AF=3，
∴平行四边形ADEF周长为6+6

2

．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数的性质、勾股定理的运用、直角三角形的判定方法和性质、三角形中位线定理、平行四边形的性质和平行三边的周长计算，题目的综合性较强，难度中等．