题目内容
已知二次函数C1：y=x2+2ax+2x-a+1，且a变化时，二次函数C1的图象顶点M总在抛物线C2上；（1）用含有a的式子表示顶点M的坐标，并求出抛物线C2的函数解析式；
（2）若抛物线C2的图象与x轴交于点A、B（A在B点左侧），与y轴交于点C．设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．且满足AC=2EF，是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线C2对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线l交抛物线于M、N两点，当y轴平分MN时，求出直线l的函数解析式．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）利用配方法将y=x2+2ax+2x-a+1改写成y=（x+a+1）2-a2-3a，求出顶点M的坐标是（-a-1，-a2-3a）；求抛物线C2的函数解析式有两种方法．方法一：分别取a=0，-1，1，得到三个顶点坐标是M1（-1，0）、M2（0，2）、M3（-2，-4），利用待定系数法可求出抛物线C2的函数解析式；方法二：令-a-1=x，将a=-x-1代入y=-a2-3a，即可求出抛物线C2的函数解析式；
（2）分两种情况：①当点E在x轴上方时，过点E作EH⊥x轴于点H．由△CAO∽△EFH，根据相似三角形对应边成比例得出EH=
CO=1，解方程-x2+x+2=1求出x的值，得到E点坐标；②当点E在x轴下方时，同理可求得E点坐标；
（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．连接BC交对称轴于P点，因为点A、B关于x=
对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小．运用待定系数法求出直线BC解析式为y=-x+2，将x=
代入，求出y=
，得到P（
，
）．再令经过点P（
，
）的直线l为y=kx-
k+
，设M（x1，y1），N（x2，y2），将y=kx-
k+
与y=-x2+x+2，联立化简得出x2+（k-1）x-
（k+1）=0，当x1+x2=1-k=0时，y轴平分MN，由此求出k=1，得到直线l：y=x+1．
（2）分两种情况：①当点E在x轴上方时，过点E作EH⊥x轴于点H．由△CAO∽△EFH，根据相似三角形对应边成比例得出EH=
| 1 |
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（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．连接BC交对称轴于P点，因为点A、B关于x=
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| 2 |
| 1 |
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| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）∵y=x2+2ax+2x-a+1=x2+（2a+2）x-a+1=（x+a+1）2-a2-3a，
∴顶点M的坐标是（-a-1，-a2-3a）．
方法一：分别取a=0，-1，1，得到三个顶点坐标是M1（-1，0）、M2（0，2）、M3（-2，-4），
过这三个顶点的二次函数的表达式是y=-x2+x+2．
将顶点坐标M（-a-1，-a2-3a）代入y=-x2+x+2的左右两边，
得左边=-a2-3a，右边=-（-a-1）2+（-a-1）+2=-a2-3a，
∴左边=右边．
即无论a取何值，顶点M都在抛物线y=-x2+x+2上．
即所求抛物线的函数表达式是C2：y=-x2+x+2；
方法二：令-a-1=x，将a=-x-1代入y=-a2-3a，得y=-（-x-1）2-3（-x-1）=-x2+x+2，
即所求抛物线的函数表达式是C2：y=-x2+x+2；
（2）分两种情况：
①当点E在x轴上方时，过点E作EH⊥x轴于点H．
∵AC∥EF，
∴△CAO∽△EFH，
∴
=
=2，
∴EH=
CO=
×2=1，即E点纵坐标为1，
当y=1时，-x2+x+2=1，
解得x=
，x=
（舍去），
∴E（
，1）；
②当点E在x轴下方时，同理可求得E（
，-1）；
综上所述，满足条件的E点坐标有两个：E（
，1）或
（
，-1）；
（3）连接BC交对称轴于P点．
∵点A、B关于x=
对称，
∴PB=PA，
∴AP+CP=BP+CP=BC最小，△ACP的周长=AC+AP+CP=
+BC最小．
∵B（2，0），C（0，2），
∴直线BC解析式为y=-x+2，
∴当x=
时，y=-
+2=
，
∴P（
，
）．
令经过点P（
，
）的直线l为y=kx-
k+
，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∵y=kx-
k+
，y=-x2+x+2，
联立化简得：x2+（k-1）x-
（k+1）=0，
∴当x1+x2=1-k=0时，y轴平分MN，
解得k=1，
∴直线l的函数解析式为y=x+1．
∴顶点M的坐标是（-a-1，-a2-3a）．
方法一：分别取a=0，-1，1，得到三个顶点坐标是M1（-1，0）、M2（0，2）、M3（-2，-4），
过这三个顶点的二次函数的表达式是y=-x2+x+2．
将顶点坐标M（-a-1，-a2-3a）代入y=-x2+x+2的左右两边，
得左边=-a2-3a，右边=-（-a-1）2+（-a-1）+2=-a2-3a，
∴左边=右边．
即无论a取何值，顶点M都在抛物线y=-x2+x+2上．
即所求抛物线的函数表达式是C2：y=-x2+x+2；
方法二：令-a-1=x，将a=-x-1代入y=-a2-3a，得y=-（-x-1）2-3（-x-1）=-x2+x+2，
即所求抛物线的函数表达式是C2：y=-x2+x+2；（2）分两种情况：
①当点E在x轴上方时，过点E作EH⊥x轴于点H．
∵AC∥EF，
∴△CAO∽△EFH，
∴
| CO |
| EH |
| AC |
| EF |
∴EH=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当y=1时，-x2+x+2=1，
解得x=
1+
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 2 |
∴E（
1+
| ||
| 2 |
②当点E在x轴下方时，同理可求得E（
1+
| ||
| 2 |
综上所述，满足条件的E点坐标有两个：E（
1+
| ||
| 2 |
（1+
| ||
| 2 |
（3）连接BC交对称轴于P点．
∵点A、B关于x=
| 1 |
| 2 |
∴PB=PA，
∴AP+CP=BP+CP=BC最小，△ACP的周长=AC+AP+CP=
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∵B（2，0），C（0，2），
∴直线BC解析式为y=-x+2，
∴当x=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴P（
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
令经过点P（
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
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| 3 |
| 2 |
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∵y=kx-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
联立化简得：x2+（k-1）x-
| 1 |
| 2 |
∴当x1+x2=1-k=0时，y轴平分MN，
解得k=1，
∴直线l的函数解析式为y=x+1．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点坐标求法，运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
练习册系列答案
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中的a、b都扩大2倍，则该分式的值（ ）
| a+b |
| a |
| A、扩大2倍 | B、缩小2倍 |
| C、不变 | D、扩大3倍 |