Question

13．如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG．
（1）猜想：△AGE与△ECF全等吗？线段EG和CF的长度相等吗？
（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系．

Answer 1

分析 （1）G、E分别为AB、BC的中点，由正方形的性质可知AG=EC，△BEG为等腰直角三角形，则∠AGE=180°-45°=135°，而∠ECF=90°+45°=135°，得∠AGE=∠ECF，再利用互余关系，得∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，根据ASA可证△AGE≌△ECF；
（2）先将△ECF绕点E逆时针旋转90°后得△EMA，再根据旋转的性质以及全等三角形的性质，可得∠MAE=∠GEA，进而得出旋转后CF与EG互相平行．

解答 解：（1）△AGE与△ECF全等，线段EG和CF的长度相等．
∵正方形ABCD中，点G，E为边AB、BC中点，
∴AG=EC，△BEG为等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°-45°=135°，
又∵CF为正方形外角平分线，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，
∵在△AGE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGE=∠ECF}\\{AG=CE}\\{∠GAE=∠CEF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴EG=FC；

（2）如图，将△ECF绕点E逆时针旋转90°后可得△EMA，

由旋转得，∠CFE=∠MAE，
由△AGE≌△ECF可得，∠CFE=∠GEA，
∴∠MAE=∠GEA，
∴AM∥GE，即旋转后CF与EG互相平行．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定以及旋转的性质，解决问题的关键是掌握：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，旋转前、后的图形全等．