Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，m+4），点C（5m+3，0）在x轴的正半轴上，现将点C向左平移4单位长度再向上平移7个单位长度得到对应点B（7m-7，n）．
（1）求m，n的值；
（2）若点P从点C出发以每秒2个单位长度/秒的速度沿CO方向移动，同时点Q从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OA方向移动，设移动的时间为t秒（0＜t＜7），四边形OPBA与△OQB的面积分别记为S₁，S₂．是否存在一段时间，使S₁＜2S₂？若存在，求出t的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点C向左平移4单位长度再向上平移7个单位长度得到对应点B，列方程组解出即可；
（2）先根据动点P、Q的速度表示出路程分别为：2t、t，再根据面积公式表示出S₁和S₂，代入S₁＜2S₂列不等式求t的取值范围，并与0＜t＜7相结合得出t的取值．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{n=7}\\{5m+3-（7m-7）=4}\end{array}\right.$
解得：m=3，n=7，
（2）存在，如图，
由（1）得：A（0，7），B（14，7），C（18，0），
由题意得：PC=2t，OQ=t，则OP=18-2t，
S₁=$\frac{1}{2}$（AB+OP）×OA=$\frac{1}{2}$×（14+18-2t）×7=-7t+112，
${S_2}=\frac{1}{2}t×14$=7t，
∵要满足S₁＜2S₂，
∴-7t+112＜2×7t，
t＞$\frac{16}{3}$，
又∵0＜t＜7，
∴当$\frac{16}{3}$＜t＜7时，S₁＜2S₂．

点评 本题是几何变换的综合题，考查了点的坐标与平移的关系，还考查了动点在运动过程中所形成的图形面积问题，此类题的解题思路为：先表示动点的路程，再根据图形形状直接或间接利用和、差表示图形面积．