Question

9．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P是BC边上的一个动点（点P与点B、C都不重合），现将△PAB沿直线PA折叠，使点B落到点B′处；过点P作∠CPB′的角平分线交CD于点Q．设BP=x，CQ=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 只要证明△ABP∽△PCQ得$\frac{AB}{PC}$=$\frac{PB}{CQ}$即可解决问题．

解答 解：∵△ABP沿PA翻折得到△AB′P，
∴∠APB=∠APB′，
∵PQ平分∠B′PC，
∴∠B′PQ=∠CPQ，
∴∠APB′+∠QPB′=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∵∠C=90°，
∴∠CPQ+∠CQP=90°，
∴∠APB=∠CQP，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴$\frac{AB}{PC}$=$\frac{PB}{CQ}$，
∵BP=x，CQ=y，矩形ABCD中，BC=8，AB=6，
∴CP=8-x，CD=AB=6，
∴$\frac{6}{8-x}$=$\frac{x}{y}$，
∴y=$\frac{1}{6}$x（8-x）=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{4}{3}$x．
∴图象是抛物线，开口向下．
故选D．

点评 本题考查矩形的性质、翻折变换、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．