如图.在等腰梯形ABCD中.AD∥BC.AB=DC=5.AD=6.BC=12.点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动,点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒$\frac{3}{5}$个单位长的速度匀速运动.过点Q向上作射线QK⊥BC.交折线段CD-DA-AB于点E,点P.Q同时开始运动.当点P与点C重合时停止运动.点Q也随之停止.设P.Q运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12，点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒$\frac{3}{5}$个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E；点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止，设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当点P运动到AD上时，t为何值时能使PQ∥DC？
（2）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为s，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
（3）在整个运动过程中，△PDQ能否是直角三角形？若能，直接写出此时t的值．

分析（1）根据平行四边形的性质，可得PD与QC的关系，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；
（2）分类讨论：0≤t≤5，根据三角形的面积公式，可得答案；5＜t≤15时，根据梯形的面积公式，可得答案，15＜t≤16时，根据图形割补法，可得两个梯形，根据梯形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论：∠PDC=90°根据P与A重合时，可得t的值；∠PDQ=90°时，可得PD=QF，根据解方程，可得答案．

解答解：（1）如图1，
?PD=AB+AD=5+6=11，BP=t，PD=11-t，CQ=$\frac{3}{5}$t．
∵PQ∥CD，PD∥CQ，
∴PD=CQ，即$\frac{3}{5}$t=11-t，
解得t=$\frac{55}{8}$（秒），
当点P运动到AD上时，t=$\frac{55}{8}$时能使PQ∥DC；
（2）如图2，
当0≤t≤5时，CQ=$\frac{3}{5}$t，FC=$\frac{BC-AD}{2}$=3，由勾股定理，得FD=4，
∵QE∥DF，
∴△CQE∽△CFD，$\frac{QE}{FD}$=$\frac{CQ}{CF}$，
解得CQ=$\frac{4}{5}$t．
S=$\frac{1}{2}$CQ•QE=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$t×$\frac{4}{5}$t=$\frac{6}{25}$t²；
如图3，
5＜t≤15时，S=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{5}$t-3+$\frac{3}{5}$t）×4=$\frac{12}{5}$t-6；
如图4，15＜t≤16时，，
BQ=12-$\frac{3}{5}$t，QF=QC-CF=$\frac{3}{5}$t-9，
△BEQ∽△BFA，
$\frac{EQ}{AF}$=$\frac{BQ}{BF}$，解得EQ=16-$\frac{4}{5}$t，
s=$\frac{1}{2}$（16-4t+4）（$\frac{3}{5}$t-9）+$\frac{1}{2}$（3+9）×4=-$\frac{6}{5}$t²+24t-56；
（3）△PDQ能是直角三角形，理由如下：
①当∠PDQ=90°时，BP=5t=5，CQ=$\frac{3}{5}$t=3，
解得t=5，
②当∠QPD=90°时如图5，PD=11-t，QE=$\frac{3}{5}$t-3，
PDFQ是矩形，PD=EQ，即11-t=$\frac{3}{5}$t-3，
解得t=$\frac{35}{4}$，
综上所述：t=5或t=$\frac{35}{4}$时，△PDQ能否是直角三角形．

点评本题考查了四边形综合题，（1）利用了平行四边形的性质得出关于t的方程是解题关键；（2）分类讨论是解题关键，利用了三角形的面积公式，梯形的面积公式；（3）分类讨论：∠PDC=90°根据P与A重合时，可得t的值；∠PDQ=90°时，可得PD=QF，即关于t的方程．

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