Question

9．如图①，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（2，0）、C（0，-2）三点．直线l：y=m（m＞0）与y轴交于D．
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）直线l上是否存在点P，使得以P、O、D为顶点的三角形与△AOC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）如图②，以点Q（1，3）为圆心，$\sqrt{2}$为半径作圆Q．若直线l与抛物线交于E、F两点，与圆Q交于G、H两点，且EG+FH=$\frac{3}{2}$GH，试求m的值．

Answer 1

分析 （I）先把A、B、C三点坐标代入抛物线y=ax²+bx+c，求出a、b、c的值，进而可得出其抛物线方程；
（II）假设存在点P，使得以P、O、D为顶点的三角形与△AOC全等，由已知OA=1，OC=2，D（0，m）（m＞0），设P（p，m）．根据点P在直线l上可知PD⊥OD，∠PDO=∠AOC=90°．再分△PDO≌△AOC，△ODP≌△AOC两种情况求出P点坐标即可；
（III）过Q作QM⊥GH于M，连接QH，根据EG+FH=$\frac{3}{2}$GH可得出EF的长，故QM=|3-m|，根据垂径定理可得GH的表达式，当y=x²-x-2=m时求出x的值，故可得出即E，F的坐标，根据两点间的距离公式求出EF的长，代入①是即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵依题意得：$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 4a+2b+c=0\\ c=-2\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\\ c=-2\end{array}\right.$，
∴抛物线方程为y=x²-x-2；

（Ⅱ）假设存在点P，使得以P、O、D为顶点的三角形与△AOC全等，
由已知OA=1，OC=2，D（0，m）（m＞0），设P（p，m）．
∵点P在直线l：y=m上，
∴PD⊥OD，∠PDO=∠AOC=90°．
①若△PDO≌△AOC，
则PD=|p|=OA=1，OD=m=OC=2，
∴P点的坐标为（-1，2）或（1，2）；
②若△ODP≌△AOC，
则PD=|p|=OC=2，OD=m=OA=1．
∴P点的坐标为（-2，1）或（2，1）．
综上满足条件的点P存在，其坐标可能为（-2，1）、（-1，2）、（1，2）、（2，1）．

（Ⅲ）过Q作QM⊥GH于M，连接QH，
∵EG+FH=$\frac{3}{2}$GH，
∴EG+GH+FH=$\frac{3}{2}$GH+GH+$\frac{5}{2}$GH，即EF=$\frac{5}{2}$GH①．
∵QM=|3-m|，
由垂径定理可得GH=2$\sqrt{{QH}^{2}-{QM}^{2}}$=2$\sqrt{2-|3-m{|}^{2}}$=2$\sqrt{6m-7-{m}^{2}}$
当y=x²-x-2=m，
解得x₁=$\frac{1-\sqrt{4m+9}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{4m+9}}{2}$，
即E（$\frac{1-\sqrt{4m+9}}{2}$，m），F（$\frac{1+\sqrt{4m+9}}{2}$，m），
∴EF=$\sqrt{4m+9}$（求EF的长用韦达定理也可以）
代入①式得$\sqrt{4m+9}$=$\frac{5}{2}$×2$\sqrt{2-|3-m{|}^{2}}$=5$\sqrt{6m-7-{m}^{2}}$，两边平方整理得25m²-146m+184=0，解得m=$\frac{46}{25}$或4．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法求二次函数的解析式、全等三角形的判定与性质、垂径定理及勾股定理等知识，难度适中．