题目内容
如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，过点A作射线AAl∥BC．动点P从点B出发沿射线BC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点Q从点C出发沿射线BC方向以每秒3个单位的速度运动．过点P作PD⊥AB于D，过点Q作QE⊥BC交射线AA1于E，F是QE中点，连结PF．设点P运动的时间为t秒．（1）求PQ的长（用t的代数式表示）；
（2）当△FQP与△BDP相似时，求t的值．
考点：相似三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）如图，作辅助线；运用t的取值范围，直接写出PQ的长度，即可解决问题．
（2）求出AG、QF的长度；运用（1）中的结论，结合分类讨论的数学思想，列出比例式逐一解析，即可解决问题．
（2）求出AG、QF的长度；运用（1）中的结论，结合分类讨论的数学思想，列出比例式逐一解析，即可解决问题．
解答：
解：（1）如图，过点A作AG⊥BC于点G；
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BG=CG=3，AG=4；
PQ=
．
（2）在Rt△ABG中，
由勾股定理得：
AG2=25-9，
∴AG=4；易知：EQ=AG=4，
∴FQ=
EQ=2；
由（1）知：当0≤t≤3时，
若△PBD∽△PFQ，则
=
，
∴
=
，而tan∠B=
=
=
，
∴
=
，
解得：t=
；
若△PBD∽△FPQ，
则
=
，
∴
=
，而tan∠B=
=
=
，
∴
=
，
解得：t=
；
当t＞3时，运用与上述类似的方法可求得：
t=
或
，
综上所述，当△FQP与△BDP相似时，
t=
或
或
或
．
解：（1）如图，过点A作AG⊥BC于点G；∵AB=AC=5，BC=6，
∴BG=CG=3，AG=4；
PQ=
|
（2）在Rt△ABG中，
由勾股定理得：
AG2=25-9，
∴AG=4；易知：EQ=AG=4，
∴FQ=
| 1 |
| 2 |
由（1）知：当0≤t≤3时，
若△PBD∽△PFQ，则
| BD |
| FQ |
| PD |
| PQ |
∴
| BD |
| PD |
| FQ |
| PQ |
| PD |
| BD |
| AG |
| BG |
| 4 |
| 3 |
∴
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| -2t+6 |
解得：t=
| 5 |
| 3 |
若△PBD∽△FPQ，
则
| BD |
| PQ |
| PD |
| FQ |
∴
| BD |
| PD |
| PQ |
| FQ |
| PD |
| BD |
| AG |
| BG |
| 4 |
| 3 |
∴
| 3 |
| 4 |
| -2t+6 |
| 2 |
解得：t=
| 9 |
| 4 |
当t＞3时，运用与上述类似的方法可求得：
t=
| 13 |
| 3 |
| 15 |
| 4 |
综上所述，当△FQP与△BDP相似时，
t=
| 5 |
| 3 |
| 9 |
| 4 |
| 13 |
| 3 |
| 15 |
| 4 |
点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，运用分类讨论的数学思想来分析、判断、推理或解答．
练习册系列答案
名题训练系列答案
期末集结号系列答案
相关题目
如图，在?ABCD中，AB=6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，当一个点运动到端点时，另一个点也停止运动，经过多长时间后，四边形APQD是平行四边形？若n是正整数，则下列各式中正确的是（ ）
| A、（-a）n=-an |
| B、（-a2n+1）=a2n+1 |
| C、（-a）2n=-a2n |
| D、（-a）2n-1=-a2n-1 |
如图，若∠1=50°，∠2=50°，∠3=111°，则∠4=
如图，已知AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线EF交AB于点E，交BC延长线于F．求证：-24表示（ ）
| A、4个-2相乘 |
| B、4个2相乘 |
| C、2个4相乘的相反数 |
| D、4个2相乘的相反数 |
如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a-2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（-2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述四个判断中正确的是
（1）已知x=-3是关于x的方程2k-x-k（x+4）=5的解，求k的值．