Question

如图，已知AD是∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线EF交AB于点E，交BC延长线于F．求证：
（1）∠B=∠FAC；
（2）DE∥AC．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）先根据线段垂直平分线的性质得出AF=DF，由等边对等角得到∠FAD=∠FDA，再根据角平分线定义得出∠BAD=∠CAD，从而利用三角形外角的性质及等式的性质即可证明∠B=∠FAC；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得出AE=DE，由等边对等角得到∠ADE=∠EAD，而∠EAD=∠CAD，等量代换得出∠ADE=∠CAD，再根据内错角相等两直线平行即可证明DE∥AC．

解答：证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠FAC=∠B；

（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE=DE，
∴∠ADE=∠EAD，
∵∠EAD=∠CAD，
∴∠ADE=∠CAD，
∴DE∥AC．

点评：本题考查了线段垂直平分线性质，三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定等知识点的运用，难度适中，培养了学生综合运用性质进行推理的能力．