Question

12．如图，O是边长为1的等边△ABC的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到AB'、BC'、CA'，连接A'B'、B'C'、A'C'、
OA'、OB'．当α=150°时，△A'B'C'的周长最大，最大值为$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．．

Answer 1

分析 如图，连接OA、OB、OC、OC′．由△OAB′≌△OCA′，推出∠A′OB′=∠A′OC′=∠B′OC′=120°，△A′B′C′是等边三角形，当O、C、A′共线时，OA′=OC+CA′=OC+CA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$+1时，OA′最长，此时△A′B′C′的最长最大．

解答 解：如图，连接OA、OB、OC、OC′．

∵O是等边三角形△ABC是中心，
∴∠BAO=∠ACO=30°，OA=OC，
，∵∠BAB′=∠ACA′=α，
∴∠OAB′=∠OCA′，
在△OAB′和△OCA′中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠OAB′=∠OCA′}\\{AB′=CA′}\end{array}\right.$，
∴△OAB′≌△OCA′，
∴∠AOB′=∠COA′，OA′=OB′
∴∠A′OB′=∠AOC=120°，同理可证∠A′OC′=∠C′OB′=120°，OA′=OC′
则有△A′OB′≌△A′OC′≌△C′OB′，
∴A′B′=A′C′=B′C′，
在△A′OB′中，∵∠A′OB′=120°，OB′=OA′，
∴当OA′最长时，A′B′最长，
∵OA′≤OC+CA′，
∴当O、C、A′共线时，OA′=OC+CA′=OC+CA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$+1时，OA′最长，
此时A′B′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（$\frac{\sqrt{3}}{3}$+1）=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，α=150°，
∴△A′B′C′的最长的最大值为$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故答案为150，$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查旋转变换、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、最大值问题等知识，解题的关键是灵活应用全等三角形的判定，学会利用三角形的三边关系解决最大值问题，属于中考常考题型．