Question

如图，△ABC中，AB=AC，P是BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
（1）求证：PD+PE=BF；
（2）当点P在BC的延长线上时，试探究PD、PE、BF之间的数量关系．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）连接AP，根据等腰三角形的性质可表示出S_△ABC=S_△ABP+S_△APC=

1

2

×AC×（PD+PE），同时可表示出S_△ABC=

1

2

AC•BF，从而可得到PD+PE=BF．
（2）BF+PE=PD，根据S_△ABP=S_△ABC+S_△APC进行推理，证法同（1）．

解答：（1）证明：连接AP．
∵AB=AC，
∴S_△ABC=S_△ABP+S_△APC
=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PE
=

1

2

×AC×（PD+PE），
又∵S_△ABC=

1

2

AC•BF
∴PD+PE=BF；
（2）解：BF+PE=PD．
连接AP．
∵AB=AC，
∴S_△ABP=S_△ABC+S_△APC
=

1

2

AC•BF+

1

2

AC•PE
=

1

2

AC•（BF+PE）
=

1

2

AB•（BF+PE）
∵S_△ABP=

1

2

AB•PD，
∴BF+PE=PD．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质及三角形面积的综合运用，此题的关键是利用面积公式将所求联系在一起．