Question

20．探索规律：
（1）如图（1），已知△ABC和△DEC都是等边三角形．连结BD和AE．求∠BME的度数．并说明理由．
（2）当三角形都为等腰直角三角形时．求∠BME的度数．并说明埋由．
（3）当三角形为任意三角形时如图（3）．AB=AC．DC=DE，且∠ACB=∠DCE=α．求∠BME的度数．说出你发现的规律
（4）当三角形换成正方形时，规律还成立吗？求∠BME的度数．

Answer 1

分析 （1）要求∠BME只要知道∠DMG，由△ACE≌△BCD得到∠MDG=∠GEC，利用“8字型”得到∠DMG=∠DCE即可解决这个问题．
（2）类似（1）略
（3）类似（1）略
（4）利用发现的规律解决．

解答 解：（1）图1中，∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE，
即∠BCD=∠ACE，
在△ACE与△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，
∵∠AFM=∠BFC，
∵∠CAE+∠AFM+∠AMF=180°，∠CBD+∠BFC+∠BCA=180°
∴∠AMF=∠ACB=60°，
∴∠BME=180°-∠AMB=120°
（2）图2中，∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}$AC，CE=$\sqrt{2}$CD，∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE，
即∠BCD=∠ACE，
∵$\frac{BC}{AC}=\frac{CE}{CD}=\sqrt{2}$，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
∵∠MGD=∠CGE，
∵∠DMG+∠MGD+∠MDG=180°，∠GCE+∠CGE+∠CEG=180°，
∴∠DMC=∠DCE=45°，
∴∠BME=180°-∠DMG=135°．
（3）如图3中，∵AB=AC，DC=DE，∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC，
∴∠BCD=∠ACE
∴△ABC∽△DEC，
∴$\frac{AC}{DC}=\frac{BC}{EC}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{EC}$，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
∵∠MGD=∠CGE，
∵∠DMG+∠MGD+∠MDG=180°，∠GCE+∠CGE+∠CEG=180°，
∴∠DMC=∠DCE=α，
∴∠BME=180°-∠DMG=180°-α．
规律是：∠BME+∠ACB=180°．
（4）结论成立，∠BME=180°-∠ACB=90°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是巧妙利用“8字型”证明角相等，此题还考查了学生观察、分析、归纳、判断的能力，是中考常见题型．