Question

5．已知在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°
（1）如图1，若D、O、B在一条直线上，连接AD、BC，取AD、BC的中点M、N，MP⊥AD，NP⊥BC，MP、NP相交于P，则PM+PN与AD+BC之间有何确定的关系？直接写出结果；
（2）如图2，将△OCD绕O旋转，则（1）中的结论是否变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）要证明AD+BC=2（PM+PN），只要证明AD=2PM，BC=2PN，只要证明∠APD=90°利用“8字型”即可证明．
（2）由△AOC≌△BOD得∠OAC=∠OBD结合“8字型”证明AC⊥BD，再由△APC≌△DPB得∠1=∠2结合“8字型”即可证明∠APD=90°．

解答 （1）结论：AD+BC=2（PM+PN）．理由如下：
证明：连接PA、PD、PC、PB．
∵PM垂直平分AD，PN垂直平分BC，
∴PA=PD，PC=PB，
∵OA=OB，OD=OC，
∴AC=BD，
 在△APC和△DPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PD}\\{PC=PB}\\{AC=BD}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△DPB，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠DGO=90°，∠DGO=∠AGP，
∴∠2+∠AGP=90°
∴∠APD=90°，
∵AM=MD，
∴PM=$\frac{1}{2}$AD，同理PN=$\frac{1}{2}BC$，
∴AD+BC=2（PM+PN）．
（2）如图2中，连接AC、BD、PA、PD、PB、PC，AC分别与PD、OB、BD交于点G、K、H．
∵∠AOB=∠DOC=90°，
∴∠AOC=∠DOB，
在△AOC或△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∵∠OAK+∠AKO=90°，∠AKO=∠BKH，
∴∠BKH+∠KBH=90°，
∴∠KHB=∠KHD=90°，
∵PM垂直平分AD，PN垂直平分BC
∴PA=PD，PC=PB，
在△APC和△DPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PD}\\{PC=PB}\\{AC=BD}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△DPB，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠DGH=90°，∠DGH=∠AGP，
∴∠2+∠AGP=90°
∴∠APD=90°，
∵AM=MD，
∴PM=$\frac{1}{2}$AD，同理PN=$\frac{1}{2}BC$，
∴AD+BC=2（PM+PN）．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等，关键是添加辅助线构造全等三角形，巧妙利用“8字型”证明直角．