Question

4．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③4a+c＞2b；④2a-b=0；⑤m（am+b）+b＜a（m≠-1），其中，正确的结论有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 由抛物线开口向下得a＜0，由抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-1得b=2a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＞0；由于x=1时，函数值小于0，所以a+b+c＜0；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点在点（-3，0）和（-2，0）之间，则当x=-2时，y＞0，即4a-2b+c＞0；根据抛物线的对称轴为直线x=-1，开口向下，得到当x=-1时，y有最大值，所以am²+bm+c＜a-b+c（m≠-1），整理得到m（am+b）＜a-b（m≠-1）．

解答 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=-1＜0，
∴b=2a，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①错误；

∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴抛物线与x轴的一个交点在点（-3，0）和（-2，0）之间，
∴当x=-2时，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，所以③正确；

∵抛物线对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴b=2a，即2a-b=0，所以④正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时，y有最大值，
∴am²+bm+c＜a-b+c（m≠-1），
∴m（am+b）＜a-b（m≠-1），所以⑤正确；
综上，正确的结论有②③④⑤，
故选：C．

点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．