Question

18．一座奖杯主视图如图所示，底座上部轮廓是抛物线的一部分，如图，包装奖杯的包装盒是-个长、宽都为a（cm），高为b（cm）的长方体纸盒．长方体纸盒侧面ABCD周长为120cm，长方体表面积为S（cm²）．
（1）试用只含a的代数式表示S；
（2）若2a≤b，当a取何值时，S有最大值，求出S的最大值；
（3）图3是把奖杯放入包装盒后的剖面图，FG=a（cm），GH=b（cm），底座宽度较小能放入盒中，以FG所在直线为x轴，以FG中垂线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为y=mx²+10，a取（2）中使S最大的a的值，若奖杯高度等于包装盒的高度b（cm），抛物线过（8，26）．试判断奖杯能否放进包装盒并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据（长+宽）×2=周长，可得关于a、b的方程，再变形用只含a的代数式表示S；
（2）根据2a≤b确定a的取值范围，再根据长方体表面积求法表示出长方体表面积S关于a的函数表达式并配方，结合a的取值范围确定最值；
（3）先由抛物线过（8，26）求抛物线解析式，由（2）知b=40，即y=40求出奖杯顶部开口大小，再与纸盒的宽a比较大小即可．

解答 解：（1）∵侧面ABCD周长为120cm，
∴2（a+b）=120，即b=60-a，
则长方体表面积S=2a²+4ab=2a²+4a（60-a）=-2a²+240a；
（2）由题意知2a≤b，即2a≤60-a，解得：a≤20，
∵S=-2a²+240a=-2（a-60）²+7200，
∴当a＜60时，S随a的增大而增大，
故当a=20cm时，S取得最大值，最大值为4000cm²；
（3）奖杯不能放进包装盒，
∵抛物线的解析式为y=mx²+10，且抛物线过（8，26），
∴64m+10=26，解得：m=$\frac{1}{4}$，
故抛物线解析式为：y=$\frac{1}{4}$x²+10；
当a=20时，b=60-20=40，
故当y=40时，$\frac{1}{4}{x}^{2}$+10=40，解得：x=±2$\sqrt{30}$，
∵2×2$\sqrt{30}$＞20，
∴奖杯不能放进包装盒．

点评 本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据题意列出函数关系式是基础，根据相应函数值求x的值并比较大小是关键．