Question

【题目】如图，点是直径上的一点，过作直线，分别交于，两点，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到，连接，分别交和于，，连接．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若点在直径上运动（不与点，重合），其它条件不变，请问是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）是定值，理由见解析；

【解析】

（Ⅰ）连接AD，由同弧所对的圆周角相等可知∠ACF＝∠ADF，由旋转的性质可知AC＝AE，利用垂径定理证得AD＝AC，推出AE＝AD，∠AED＝∠ADF，即可推出结论；

（Ⅱ）过点E作EN∥CD，过点D作DN⊥CD，且EN与直线AB交于点M，与直线DN交于点N，先证四边形MNDP是矩形，△EAM≌△ACP，推出MN＝PD，MP＝ND，EM＝AP，AM＝CP，再证明△END为等腰直角三角形，推出△EMG为等腰直角三角形，即可通过锐角三角函数推出结论．

解：（Ⅰ）连接，由同弧所对的圆周角相等可知∠ACF＝∠ADF，

∵AE是由线段AC绕点A逆时针旋转90°得到，

∴AC＝AE，

∵CD⊥AB，

∴AB垂直平分CD，

∴AC＝AD，

∴AE＝AD，

∴∠AED＝∠ADF，

∴∠ACF＝∠AED；

（Ⅱ）是定值，

理由：过点E作EN∥CD，过点D作DN⊥CD，且EN与直线AB交于点M，与直线DN交于点N，

∵∠EAC＝∠CPA＝90°，

∴∠EAM＋∠CAB＝∠CAB＋∠ACP＝90°，

∴∠EAM＝∠ACP，

∵DN⊥CD，CD⊥AB，

∴DN∥AB，

又∵EN∥CD，

∴四边形MNDP是矩形，

∴∠AME＝∠APC＝90°，

∵AC＝AE，∠EAM＝∠ACP，∠AME＝∠APC，

∴△EAM≌△ACP，

∴EM＝AP，AM＝CP，

∵四边形MNDP是矩形，

∴MN＝PD，MP＝ND，

∵AB是直径，CD⊥AB，

∴MN＝PD＝CP＝AM，

又∵EM＝AP，

∴EM＋MN＝AP＋AM，即EN＝MP＝ND，

∴△END是等腰直角三角形，

∴∠EDN＝45°，

∵DN∥AB，

∴∠EGM＝∠EDN＝45°，

∴△EMG是等腰直角三角形，

∴，

∴.