Question

【题目】如图，已知等腰直角，点是斜边上一点(不与重合)，是的外接圆的直径．

（1）求证：是等腰直角三角形；

（2）若的直径为2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4．

【解析】

（1）首先利用△ABC是等腰直角三角形，得出∠ABC=45°，然后根据圆周角定理的推论即可得出∠PEA=∠ABC=45°，∠PAE=90°，则结论可证；

（2）利用等腰直角三角形的性质得出AC=AB， AP=AE，再加上∠CAP=∠BAE，，从而证明△CAP≌△BAE，则有CP=BE，然后在Rt△BPE中，利用勾股定理可得出PB2+BE2=PE2，然后等量代换即可得出答案．

（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠C=∠ABC=45°，

∴∠PEA=∠ABC=45°

又∵PE是⊙O的直径，

∴∠PAE=90°，

∴∠PEA=∠APE=45°，

∴△APE是等腰直角三角形．

（2）解：如图，连接BE，

∵△ABC,△APE是等腰直角三角形，

∴AC=AB， AP=AE，

又∵∠CAB=∠PAE=90°，

∴∠CAP=∠BAE，

∴△CAP≌△BAE，

∴CP=BE，

又∵PE是⊙O的直径，

∴∠PBE=90°，

在Rt△BPE中，

∵∠PBE=90°，PE=2，

∴PB2+BE2=PE2，

∴CP2+PB2=PE2=4．