Question

【题目】 如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O、B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．

（1）求证：AC平分∠FAB；

（2）求证：BC2=CECP；

（3）若，⊙O的面积为12π，求PF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）7

【解析】

（1）根据切线的性质得到OC⊥CP，证明OC∥AF，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明；

（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，证明△CEB∽△CBP，根据相似三角形的性质证明结论；

（3）设CE=3x，根据题意用x表示出CP、CB，根据相似三角形的性质列出方程，解方程求出x，根据角平分线的性质得到CF=CE，结合图形计算，得到答案．

（1）证明：∵CP是⊙O的切线，

∴OC⊥CP，

∵AF⊥PC，

∴OC∥AF，

∴∠FAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠ACO，

∴∠FAC=∠OAC，即AC平分∠FAB；

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，即∠CAB+∠ABC=90°，

∵EC⊥OB，

∴∠ECB+∠ABC=90°，

∴∠CAB=∠ECB，

∵CP是⊙O的切线，

∴∠CAB=∠BCP，

∴∠ECB=∠BCP，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CBD=90°，

∴∠CEB=∠CBP，又∠ECB=∠BCP，

∴△CEB∽△CBP，

∴=，即BC2=CECP；

（3）解：设CE=3x，

∵，

∴CP=4x，

∵BC2=CECP，

∴BC=2x，

由勾股定理得，BE==x，

∵⊙O的面积为12π，

∴⊙O的半径为2，即AB=4，

∵∠ACB=90°，CE⊥AB，

∴BC2=BEAB，即（2x）2=x4，

解得，x=1，

则CE=3，CP=4，

∵AC平分∠FAB，AF⊥PC，EC⊥OB，

∴CF=CE=3，

∴PF=CF+CP=7．