Question

【题目】定义：将一个大于0的自然数，去掉其个位数字，再把剩下的数加上原数个位数字的4倍，如果得到的和能被13整除，则称这个数是“一刀两断”数，如果和太大无法直接观察出来，就再次重复这个过程继续计算，例如，所以55263是“一刀两断”数．，所以3247不是“一刀两断”数．

（1）判断5928是否为“一刀两断”数：_____（填是或否），并证明任意一个能被13整除的数是“一刀两断”数；

（2）对于一个“一刀两断”数均为正整数），规定．若的千位数字满是，千位数字与十位数字相同，且能被65整除，求出所有满足条件的四位数中，的最大值．

Answer 1

【答案】（1）是；证明见解析；（2）的最大值为45．

【解析】

（1）根据“一刀两断”数的定义，计算即可得，设任意一个能被13整除的位数前位数字为，个位数字为，则这个位数可表示为，根据定义进行推理即可证得；

（2）由m能被65整除，得出m是13的倍数也是5的倍数，可得d=0或5，分情况讨论，分别求出满足条件的所有的m的值，代入中计算即可判断出．

（1），所以5928是“一刀两断”数

证明：设任意一个能被13整除的位数前位数字为，个位数字为，则这个位数可表示为（为正整数），

，

，

是“一刀两断”数；

∴任意一个能被13整除的数是“一刀两断”数，

故答案为：是；

（2）能被65整除，且a=c，

既能被13整除又能被5整除．

或．

当时，，

是13的倍数．

，

．

又，

．

．

当时，，

是13的倍数，

，

．

，

或或．

或或．

．

的最大值为45，

故答案为：45．