Question

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．

（1）求证：AD=DB；

（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；

（3）当∠DEF=90°时，求BF的长？

Answer 1

（1）见解析（2）y=9+x（0＜x＜6）（3）10

【解析】

试题分析：（1）求出∠CAB、∠DAB，推出∠DAB=∠B即可；

（2）求出AE=6﹣x，AF=，根据勾股定理求出AB，即可求出答案；

（3）求出DE=2x，求出AE=DE=6﹣x，得到方程，求出方程的解，即可求出答案．

（1）证明：在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°，

又∵AD平分∠CAB，

∴∠DAB=∠DAC=∠CAB=30°，

∴∠DAB=∠B，

∴AD=DB．

（2）【解析】
在△AEF中，∵∠AFE=90°，∠EAF=60°，

∴∠AEF=30°，

∴AE=AC﹣EC=6﹣x，AF=，

在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=6，

∴AB=12，

∴BF=AB﹣AF=12﹣x，

∴y=9+x，

答：y关于x的函数解析式是y=9+x（0＜x＜6）．

（3）【解析】
当∠DEF=90°时，∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠FED=60°，

∴∠EDC=30°，ED=2x，

∵∠C=90°，∠DAC=30°，

∴∠ADC=60°，

∴∠EDA=60°﹣30°=30°=∠DAE，

∴ED=AE=6﹣x．

∴有2x=6﹣x，得x=2，

此时，y=9+×2=10，

答：BF的长为10．