如图1.在△ABC中.∠ACB=90°.∠BAC=60°.点E是∠BAC角平分线上一点.过点E作AE的垂线.过点A作AB的垂线.两垂线交于点D.连接DB.点F是BD的中点.DH⊥AC.垂足为H.连接EF.HF．(1)如图1.若点H是AC的中点.AC=2$\sqrt{3}$.求AB.BD的长,(2)如图1.求证:HF=EF,(3)如图2.连接CF.CE．猜想:△CEF是否是等边三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．
（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2$\sqrt{3}$，求AB，BD的长；
（2）如图1，求证：HF=EF；
（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．

分析（1）根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果；
（2）如图1，连接AF，证出△DAE≌△ADH，△DHF≌△AEF，即可得到结果；
（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，在R_t△ADE中，AD=2AE，根据三角形的中位线的性质得到AD=2FM，于是得到FM=AE，由∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°∠CMF=∠AMF-AMC=30°，证得△ACE≌△MCF，问题即可得证．

解答解：（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∵AD⊥AB，∠CAB=60°，
∴∠DAC=30°，
∵AH=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∴AD=$\frac{AH}{cos30°}$=2，
∴BD=$\sqrt{{AB}^{2}{+AD}^{2}}$=2$\sqrt{13}$；

（2）如图1，连接AF，
∵AE是∠BAC角平分线，
∴∠HAE=30°，
∴∠ADE=∠DAH=30°，
在△DAE与△ADH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHD=∠DEA=90°}\\{∠ADE=∠DAH}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△ADH，
∴DH=AE，
∵点F是BD的中点，
∴DF=AF，
∵∠EAF=∠EAB-∠FAB=30°-∠FAB
∠FDH=∠FDA-∠HDA=∠FDA-60°=（90°-∠FBA）-60°=30°-∠FBA，
∴∠EAF=∠FDH，
在△DHF与△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DH=AE}\\{∠HDF=∠EAH}\\{DF=AF}\end{array}\right.$，
∴△DHF≌△AEF，
∴HF=EF；

（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM，
∵F、M分别是BD、AB的中点，
∴FM∥AD，即FM⊥AB．
在R_t△ADE中，AD=2AE，
∵DF=BF，AM=BM，
∴AD=2FM，
∴FM=AE，
∵∠ABC=30°，
∴AC=CM=$\frac{1}{2}$AB=AM，
∵∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=30°∠CMF=∠AMF-∠AMC=30°，
在△ACE与△MCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CM}\\{∠CAE=∠CMF}\\{AE=MF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△MCF，
∴CE=CF，∠ACE=∠MCF，
∵∠ACM=60°，
∴∠ECF=60°，
∴△CEF是等边三角形．