Question

5．如图，已知△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，底边BC、CE在同一直线上，且AB=$\sqrt{2}$，BC=1，BD与AC交于点P．
（1）求证：△BED∽△DEC；
（2）求△DPC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得出AB=AC=DC=DE=$\sqrt{2}$，BC=CE=1，求出$\frac{DE}{CE}$=$\frac{BE}{DE}$，根据相似三角形的判定得出即可；
（2）求出AC∥DE．求出$\frac{PC}{DE}$=$\frac{BC}{BE}$=$\frac{1}{2}$，求出PC和PD，即可求出答案．

解答 （1）证明：∵△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，且底边BC、CE在同一直线上，
∴AB=AC=DC=DE=$\sqrt{2}$，BC=CE=1，
∴BE=2BC=2，
∵$\frac{DE}{CE}$=$\sqrt{2}$，$\frac{BE}{DE}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{BE}{DE}$．
又∵∠BED=∠DEC，
∴△BED∽△DEC；

（2）解：∵△ABC，△DCE是两个全等的等腰三角形，且底边BC、CE在同一直线上，
∴∠ACB=∠DEC，
∴AC∥DE．
∴$\frac{PC}{DE}$=$\frac{BC}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PD=$\frac{1}{2}$BD，
过D作DM⊥CE于M，
∵DC=DE，
∴CM=ME=$\frac{1}{2}$，
在Rt△DMC中，由勾股定理得：DM=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
在Rt△DMB中，由勾股定理得：BD=$\sqrt{（\frac{\sqrt{7}}{2}）^{2}+（1+\frac{1}{2}）^{2}}$=2，
∴PD=$\frac{1}{2}$BD=1，
∴△DPC的周长=PC+PD+DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1+$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+1．

点评 本题考查了三角形的中位线，勾股定理，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．