Question

20．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．

填空：①∠AEB的度数为60°；②AD与BE的数量关系AD=BE．
（2）拓展探究：图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一只显示行，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件可以判定：△ACD≌△BCE，可得AD=BE，再由角度关系求得∠AEB=60°；
（2）同（1）可证：△ACD≌△BCE，得到AD=BE，∠AEB=90°，再由CM⊥DE，可得CM=$\frac{1}{2}$DE，进而可求得线段CM、AE、BE之间的数量关系为：AE=BE+2CM．

解答 解：（1）∵△ACB与△DCE都为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ADC=180°-∠CDE=60°，
∵∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°
∴∠ACD=∠ECB，
∴在△ACD与△BCE中有
         $\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$ 
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠ADC=120°，AD=BE，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°，
 故答案为：60°，AD=BE；
（2）①∵△ACB与△DCE都为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ADC=180°-∠CDE=135°，
∵∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=90°
∴∠ACD=∠ECB，
∴在△ACD与△BCE中有
         $\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$ 
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠ADC=135°，AD=BE，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，
 故∠AEB的度数为90°；
 ②∵CM⊥DE，△CDE为等腰直角三角形，
∴DM=DE（三线合一）
∴CM=$\frac{1}{2}$DE，
∴AE=AD+DE=BE+2CM，
即：线段CM、AE、BE之间的数量关系为：AE=BE+2CM．

点评 此题考查旋转型全等，角度、线段之间的灵活转化，涉及了等腰三角形中的三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等基础知识．