Question

15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=30cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D移动，点Q从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，点P和点Q分别从点A和点C同时出发，移动时间为ts．规定若其中一个动点先到达端点（终点）时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求时间t的取值范围；
（2）当四边形ABQP为矩形时，求时间t的值；
（3）是否存在时间t的值，使得△APQ的面积是△ABC的面积的一半？若存在，请求出t的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据运动速度是距离即可得出结论；
（2）有矩形的性质得出AP=BQ，建立方程求解即可得出结论；
（3）假设△APQ的面积是△ABC的面积的一半，求出时间，判断是否在0≤t≤10内，即可得出结论．

解答 解：（1）点P停止的时间是24÷1=24s，点Q停止的时间是30÷3=10s，
所以时间t的取值范围是0≤t≤10．     
              
（2）由运动知，AP=t，CQ=3t，
∴BQ=30-3t，
若四边形ABQP是矩形．
∴AP=BQ．
即t=30-3t．
∴t=7.5．             
  
（3）不存在．理由如下：
若△APQ的面积是△ABC的面积的一半时，
∴$\frac{1}{2}$AP×AB=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×AB×BC．
∴t=$\frac{1}{2}$×30=15．
∵t的取值范围是0≤t≤10．
∴不存在t的值，使得使得△APQ的面积是△ABC的面积的一半．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了梯形的性质，矩形的性质，三角形的面积公式，解本题的关键是用方程的思想解决问题．