Question

6．我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：如图1四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA，OC，显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．
（1）如图1，试说明直线AE是“好线”的理由；
（2）如图2，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并说明理由；
（3）如图3，五边形ABCDE是一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但原块土地与开垦荒地的分界小路（折线CDE）还保留着，现在请你过E点修一条直路．要求直路左边的土地面积与原来一样多（只需对作图适当说明无需说明理由）

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AH⊥BC于H．由S_△ABD=$\frac{1}{2}$•BD•AH，S_△ADC=$\frac{1}{2}$•DC•AH，因为BD=CD，所以S_△ABD=S_△ADC，再判断出S_{四边形ABCO}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，进而判断出S_△AOE=S_△COE，推出S_△AOF=S_△CEF，即可推出直线AE平分四边形ABCD的面积；
（2）连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．由AG∥EF，推出S_△AGE=S_△AFG．设AE与FG的交点是O．则S_△AOF=S_△GOE，又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”，
（3）连接CE，过点D作DF∥EC交CM于F，连接EF，即EF为所修的直路，利用夹在平行线间的距离处处相等得出
DG=FH，即可得出S_△CDE=S_△CEF，结论得证．

解答 解：（1）∵点O是BD的中点，
∴S_△AOB=S_△AOD，S_△BOC=S_△DOC，
∴S_△AOB+S_△BOC=S_△AOD+S_△DOC=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，
∴S_{四边形ABCO}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}．
∴折线AOC能平分四边形ABCD的面积，
设AE交OC于F．

∵OE∥AC，
∴S_△AOE=S_△COE，
∴S_△AOF=S_△CEF，
∵折线AOC能平分四边形ABCD的面积，
∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是四边形ABCD的一条“好线”． 

（2）连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．

∵AG∥EF，
∴S_△AGE=S_△AFG．
设AE与FG的交点是O．则S_△AOF=S_△GOE，
又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”．
（3）如图3，
连接CE，过点D作DF∥EC交CM于F，连接EF，即EF为所修的直路，
理由：过点D作DG⊥CE于G，过点F作FH⊥EC于H，
∵DF∥EC，∴DG=FH（夹在平行线间的距离处处相等），
∵S_△CDE=$\frac{1}{2}$EC×DG，S_△CEF=$\frac{1}{2}$EC×FH，
∴S_△CDE=S_△CEF，
∴S_{四边形ABCDE}=S_{四边形ABCE}+S_△CDE=S_{四边形ABCE}+S_△CEF=S_{五边形ABCFE}．
即：直路左边的土地面积与原来一样多．

点评 本题考查四边形综合题、三角形中线的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，理解同底等高的三角形面积相等，属于中考创新题目．