对于平面直角坐标系xOy中的点P(m.n).定义一种变换:作点P(m.n)关于y轴对称的点P′.再将P′向左平移k个单位得到点Pk′.Pk′叫做对点P(m.n)的k阶“? 变换．若一个函数图象上所有点都进行了k阶“? 变换后组成的图形称为此函数进行了k阶“? 变换后的图形．的3阶“? 变换后P3′的坐标,(2)若直线y=x+1经过k阶“? 变换后的图象与反比例函数的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．对于平面直角坐标系xOy中的点P（m，n），定义一种变换：作点P（m，n）关于y轴对称的点P′，再将P′向左平移k（k＞0）个单位得到点P_k′，P_k′叫做对点P（m，n）的k阶“?”变换．若一个函数图象上所有点都进行了k阶“?”变换后组成的图形称为此函数进行了k阶“?”变换后的图形．
（1）求P（3，2）的3阶“?”变换后P₃′的坐标；
（2）若直线y=x+1经过k阶“?”变换后的图象与反比例函数的图象y=$\frac{2}{x}$没有公共点，求k的取值范围．
（3）若抛物线C₁：y=x²-4x+3与直线l：y=-x+3交于A，B两点，抛物线C₁经过k阶“?”变换后的图象记为C₂，C₂与直线l交于C，D两点，若$\frac{CD}{AB}$=$\frac{7}{3}$，求k的值．

分析（1）k阶“?”变换的定义，即可求出3阶“?”变换后P₃′的坐标．
（2）直线y=x+1经过k阶“?”变换后的解析式为y=-x-k+1，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=-x-k+1}\end{array}\right.$消去y得到x²+（k-1）x+2=0，由题意△＜0，解不等式即可．
（3）由题意C₂的解析式为y=（-x-k）²-4（-x-k）+3，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=（-x-k）^{2}-4（-x-k）+3}\end{array}\right.$消去y得到x²+（2k+5）x+k²+4k=0，可得x₁+x₂=-（2k+5），x₁x₂=k²+4k，y₂-y₁=-（x₂-x₁），推出CD=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{2（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[（2k+5）^{2}-4（{k}^{2}+4k）]}$=$\sqrt{8k+50}$，求出AB，列出方程即可解决问题．

解答解：（1）点P（3，2）关于y轴的对称点P′（-3，2），再将P′向左平移3个单位得到点P₃′（-6，2）．

（2）直线y=x+1经过k阶“?”变换后的解析式为y=-x-k+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=-x-k+1}\end{array}\right.$消去y得到x²+（k-1）x+2=0，
∵直线y=x+1经过k阶“?”变换后的图象与反比例函数的图象y=$\frac{2}{x}$没有公共点，
∴△＜0，
∴（k-1）²-8＜0，
∴1-2$\sqrt{2}$＜k＜1+2$\sqrt{2}$．

（3）由题意C₂的解析式为y=（-x-k）²-4（-x-k）+3，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4x+3}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$，
不妨设A（0，3），B（3，0），则AB=3$\sqrt{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=（-x-k）^{2}-4（-x-k）+3}\end{array}\right.$消去y得到x²+（2k+5）x+k²+4k=0，
∴x₁+x₂=-（2k+5），x₁x₂=k²+4k，y₂-y₁=-（x₂-x₁），
∴CD=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{2（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}$=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[（2k+5）^{2}-4（{k}^{2}+4k）]}$=$\sqrt{8k+50}$，
∵$\frac{CD}{AB}$=$\frac{7}{3}$，
∴$\frac{8K+50}{18}$=$\frac{49}{9}$，
∴k=6．