Question

5．如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别在边AB、AC上，且满足AD=AE．下列结论中：
①△ABE≌△ACD；
②AO平分∠BAC；
③OB=OC；
④AO⊥BC；
⑤若AD=$\frac{1}{2}$BD，则OD=$\frac{1}{3}$OC；
其中正确的有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 根据全等三角形的判定定理即可得到△ABE≌△ACD，故①正确；根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠ADC，由平角的定义得到∠BDO=∠BEC，推出△BOD≌△COE，根据全等三角形的性质得到OD=OE，BO=OC，故③正确；推出△AOD≌△AOE，根据全等三角形的性质得到AO平分∠BAC，故②正确；根据等腰三角形的性质得到AO⊥BC，故④正确；过D作DF∥AO交BO于F，根据平行线分线段成比例定理得到OF=$\frac{1}{3}$OB，等量代换即可得到OD=$\frac{1}{3}$OC；故⑤正确．

解答 解：在△ABE与△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD，故①正确；
∴∠AEB=∠ADC，
∴∠BDO=∠BEC，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
在△BOD与△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDO=∠CEO}\\{∠BOD=∠COE}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△COE，
∴OD=OE，BO=OC，故③正确；
在△AOD与△AOE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{AO=AO}\\{OD=OE}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△AOE，
∴∠DAO=∠EAO，∠AOD=∠AOF，
∴AO平分∠BAC，故②正确；
∵AB=AC，AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC，故④正确；
过D作DF∥AO交BO于F，
∵AD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OF=$\frac{1}{3}$OB，
∵DF∥AO，
∴∠ODF=∠AOD，∠OFD=∠AOE，
∴∠ODF=∠OFD，
∴OD=OF，
∵OB=OC，
∴OD=$\frac{1}{3}$OC；故⑤正确；
故选D．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．