Question

1．如图，二次函数y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-1）图象与坐标轴的交点分别为A，B，C三点，点E是射线CB上第一象限内一点，记点C、B到直线AE的距离分别为d₁和d₂，当d₁-d₂的值取最大时，点E的坐标为（$\frac{2}{5}$，$\frac{6}{5}$）．

Answer 1

分析 首先说明当AE⊥BC时，d₁-d₂的值最大，最大值为BC的长．求出直线BC、AE的解析式，利用方程组求出交点E的坐标即可．

解答 解：如图作BM⊥AE于M，CN⊥AE于N，BG⊥CN于G．则四边形BMNG是矩形．

∵d₁-d₂=CN-BM=CN-NG=CG，
在Rt△BCG中，CG≤BC，
∴当AE⊥BC时，d₁-d₂的值最大，最大值为BC的长．
由题意C（-2，0），A（1，0），B（0，1），
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
∵AE⊥BC，
∴直线AE的解析式为y=-2x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
∴点E的坐标为（$\frac{2}{5}$，$\frac{6}{5}$）．
故答案为（$\frac{2}{5}$，$\frac{6}{5}$）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数的应用、最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标．