Question

10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）当∠ABD=60°，AD=2$\sqrt{3}$时，求∠EDB的正切值．

Answer 1

分析 （1）先依据平行四边形的定义证明四边形OBEC为平行四边形，然后再依据矩形的性质得到∠COB=90°，故此四边形OBEC是矩形；
（2）依据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可得到BD=2$\sqrt{3}$，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AO的长，从而得到BE的长，最后利用锐角三角函数的定义求解即可．

解答 解：（1）∵BE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OBEC为平行四边形．
∵ABCD为菱形，
∴AC⊥BD．
∴∠BOC=90°．
∴四边形OBEC是矩形．
（2）∵AD=AB，∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴BD=AD=AB=2$\sqrt{3}$．
∵ABCD为菱形，∠DAB=60°，
∴∠BAO=30°．
∴OC=OA=3．
∴BE=3
∴tan∠EDB=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查的是矩形的判定、菱形的性质、锐角三角函数的定义、特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．