Question

9．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD平分∠BAC，则点B到AD的距离是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{6\sqrt{13}}{13}$

Answer 1

分析 过点D作DE⊥AB交AB于E，设CD=x，则BD=4-x，根据角平分线的性质求得CD，求得S_△ABD，由勾股定理得到AD，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：过点D作DE⊥AB交AB于E，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
设CD=x，则BD=8-x，
∵AD平分∠BAC，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{x}{4-x}$=$\frac{3}{5}$，
解得，x=$\frac{3}{2}$
∴CD=$\frac{3}{2}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×AB•DE=$\frac{1}{2}×$$\frac{3}{2}$×5=$\frac{15}{4}$，
∵AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
设BD到AD的距离是h，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×AD•h，
∴h=$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，三角形的角平分线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．