Question

4．直线MN与直线PQ相交于O，点A在射线OP上运动，点B 在射线OM上运动．
（1）如图1，若∠AOB=80°，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，若∠AOB=80°，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，AD、BC的延长线交于点F，点A、B在运动的过程中，∠F=50°；DE、CE又分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小也不发生变化，其大小为：∠CED=65°．
（3）如图3，若∠AOB=90°，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF=90°；
（4）如图3，若AF，AE分别是∠GAO，∠BAO的角平分线，∠AOB=90°，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则∠ABO的度数=36°或45°．

Answer 1

分析 （1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出∠BAE=$\frac{1}{2}$∠OAB，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=280°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAP，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=50°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE，进而得出结论；
（3））由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=$\frac{1}{2}$∠BAO，∠EOQ=$\frac{1}{2}$∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°；
（4）在△AEF中，由一个角是另一个角的4倍分四种情况进行分类讨论．

解答 解：（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ相交于O，
∴∠AOB=80°，
∴∠OAB+∠OBA=80°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠OAB，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=$\frac{1}{2}$（∠OAB+∠ABO）=50°，
∴∠AEB=130°；

（2）∠CED的大小不变．
延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ相交于O，
∴∠AOB=80°，
∴∠OAB+∠OBA=80°，
∴∠PAB+∠MBA=280°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAP，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠PAB+∠ABM）=140°，
∴∠F=50°，
∴∠FDC+∠FCD=140°，
∴∠CDA+∠DCB=220°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE+∠DCE=115°，
∴∠E=65°；
故答案为：50°，65°；

（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=$\frac{1}{2}$∠BAO，∠EOQ=$\frac{1}{2}$∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=$\frac{1}{2}$（∠BOQ-∠BAO）=$\frac{1}{2}$∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°；
故答案为：90°；

（4）在△AEF中，∵有一个角是另一个角的4倍，故有：
①∠EAF=4∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
②∠EAF=4∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍去）；
③∠F=4∠E，∠E=18°，∠ABO=36°；
④∠E=4∠F，∠E=72°，∠ABO=144°（舍去）．
∴∠ABO为36°或45°．
故答案为：36°或45°．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．