Question

6．设ABCD是一块正方形纸板，用平行于BC的直线PQ和RS将它等分三个矩形，如图，折叠纸板，使C点落在AB上的C′点处，S点落在PQ的S′点处，且BC′=1，试求AC′的长．

Answer 1

分析 由折叠的性质得到C′E=CE，C′S′=CS，设AC′=x，BE=y，根据勾股定理得到y=$\frac{{x}^{2}+2x}{2（x+1）}$  ①，根据相似三角形的性质得到2x²+x-3xy=1  ②，把①代入②得，即可得到结论．

解答 解：∵C′D′与CD，C′E与CE关于执行EM对称，
∴C′E=CE，C′S′=CS，
设AC′=x，BE=y，
在Rt△BC′E中，y²+1=（x+1-y）²，
∴y=$\frac{{x}^{2}+2x}{2（x+1）}$  ①，
∵△PC′S′∽△BEC′，
∴$\frac{PC′}{BE}$=$\frac{C′S′}{C′E}$，即$\frac{x-\frac{1}{3}（x+1）}{y}$=$\frac{\frac{1}{3}（x+1）}{x+1-y}$，
∴2x²+x-3xy=1  ②，
把①代入②得，2x²+x-3x•$\frac{{x}^{2}+2x}{2（x+1）}$=1，
解得x³=2，
∴x=$\root{3}{2}$，
即AC′的长为$\root{3}{2}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．