Question

18．如图，点P是直线y=$\frac{1}{2}$x+1上动点，点Q（0，m）是y轴负半轴上定点，连接PQ，当PQ的长度最小时，∠PQO的正弦值为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 和m的取值有关

Answer 1

分析 根据垂线段最短作点Q到直线y=$\frac{1}{2}$x+1的垂线，利用等角的三角函数值相等，求∠ABO的正弦值即可．

解答 解：设直线y=$\frac{1}{2}$x+1与x轴、y轴的交点分别是B、A，
过Q作QP⊥BA于P，这时PQ的长最小，
当x=0时，y=1，则A（0，1），
当y=0时，x=-2，则B（-2，0），
∴OA=1，OB=2，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠PAQ+∠PQO=90°，∠PAQ+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠PQO，
∴sin∠PQO=sin∠ABO=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故选B．

点评 本题考查了三角函数的定义及一次函数与两坐标轴的交点，在一次函数中常求直线与两坐标的交点：①与x轴交点?令y=0；②与y轴交点?令x=0；还要熟练掌握三角函数的定义，知道同角或等角的三角函数值相等．