如图.在平面直角坐标系中.点A.C分别是一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+3的图象与y轴.x轴的交点.抛物线y=$\frac{1}{4}$x2+bx+c经过B两点．(1)求该抛物线所对应的函数关系式,(2)动点P从点A出发.在线段AD上匀速运动.同时动点Q从点C出发.在线段AC上匀速运动.速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时.它们同时停止运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．

如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别是一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+3的图象与y轴、x轴的交点，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c经过B（-2，0）、D（6，3）两点．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）动点P从点A出发，在线段AD上匀速运动，同时动点Q从点C出发，在线段AC上匀速运动，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点P运动t（秒）时，△APQ的面积为S．
①当P运动到何处时，PQ⊥AC；②求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，在x轴下方的抛物线上存在点K，使S_△BCK=4S，直接写出点K的坐标．

分析（1）把B、D两点代入抛物线解析式解方程组即可解决问题．
（2）①由△AQP∽△COA，得到$\frac{AP}{CA}$=$\frac{AQ}{CO}$，列出方程即可解决问题．②由△AMQ∽△COA，得到：$\frac{QM}{AO}$=$\frac{AQ}{AC}$，求出QM，即可解决问题，根据二次函数的性质求出最大值．
（3）设K（m，n），由题意$\frac{1}{2}$×6×（-n）=4×$\frac{15}{8}$，解方程即可解决问题．

解答解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c经过B（-2，0）、D（6，3）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-2b+c=0}\\{9+6b+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{5}{8}}\\{c=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{8}$x-$\frac{9}{4}$．

（2）①如图1中，

由题意A（0，3），C（4，0），
∵PQ⊥AC，
∴∠PQA=∠AOC=90°，
∵AD∥BC，
∴∠PAQ=∠ACO，
∴△AQP∽△COA，
∴$\frac{AP}{CA}$=$\frac{AQ}{CO}$，
∴$\frac{t}{5}$=$\frac{5-t}{4}$，
∴t=$\frac{25}{9}$．

②如图2中，作QM⊥AP于M．

由△AMQ∽△COA，得到：$\frac{QM}{AO}$=$\frac{AQ}{AC}$，
∴$\frac{QM}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴QM=$\frac{3}{5}$（5-t）．
∴S=$\frac{1}{2}$•AP•QM=-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t=-$\frac{3}{10}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{15}{8}$．
∴t=$\frac{5}{2}$时，S最大值=$\frac{15}{8}$．

（3）设K（m，n），
由题意$\frac{1}{2}$×6×（-n）=4×$\frac{15}{8}$，
∴n=-$\frac{5}{2}$，
当y=-$\frac{5}{2}$时，-$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{8}$x-$\frac{9}{4}$，解得x=2或$\frac{1}{2}$，
∴点K坐标（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{2}$）或（2，-$\frac{5}{2}$）．