Question

14．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点，若点P在抛物线上，且S_△POC=4S_△BOC．求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；
（2）a=1时，先由对称轴为直线x=-1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x²+2x-3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x²+2x-3），根据S_△POC=4S_△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标．

解答 解：（1）∵对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x=-1对称，
∵点A的坐标为（-3，0），
∴点B的坐标为（1，0）；

（2）∵a=1时，抛物线y=x²+bx+c的对称轴为直线x=-1，
∴$\frac{-b}{2}$=-1，解得b=2．
将B（1，0）代入y=x²+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=-3．
则二次函数的解析式为y=x²+2x-3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，-3），OC=3．
设P点坐标为（x，x²+2x-3），
∵S_△POC=4S_△BOC，
∴$\frac{1}{2}$×3×|x|=4×$\frac{1}{2}$×3×1，
∴|x|=4，x=±4．
当x=4时，x²+2x-3=16+8-3=21；
当x=-4时，x²+2x-3=16-8-3=5．
∴点P的坐标为（4，21）或（-4，5）．

点评 此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积．此题难度适中，解题的关键是求出点C的坐标．