Question

1．在Rt△ABC中∠C=90°∠A=60°BC=6．等边△DEF从初始位置（点E与点B重合，EF落在BC上）在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移（如图1所示），DE、DF分别与AB相交于点M、N，当点F运动到点C时，△DEF终止运动，此时点D恰好落在AB上，设△DEF平移的时间为x．
（1）求△DEF的边长；
（2）在△DEF开始运动的同时，如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE一EF运动，最终运动到F点，若设△PMN的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出相应的自变量的取值范围：
（3）当点F与点C重合时（如图2），点G为AC边上一动点，连接EG，将△EGC绕点E逆时针旋转60°得到△EHD，延长HD交AC于点K．若△HGK的面积等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求CG的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作CH⊥AB于H，求出CH的长即可．
（2）本题要先找出几个关键点：当P与M重合时，那么根据P的速度可表示出DM的长，而ME=BE为三角形平移的距离，据此可求出t=1．当P到达E点时，DP=DE，可求得此时t=$\frac{3}{2}$．①当P在DM之间时，即0≤x＜1，MN的长可在直角三角形DMN中，根据DM和∠DMN的余弦值求出，过P作PP₁⊥MN于P₁，那么PP₁就是MN边上的高，可在RT△MPP₁中根据MP的长和∠PMP₁的正弦值求出（MP可根据DE-DP-ME来得出）．据此可得出关于S，x函数关系式．②当P在EM之间时，即1＜x≤$\frac{3}{2}$，可过P作PP₂⊥AB与P₂，那么PP₂的长可在直角三角形PP₂M中，根据PM的长和∠BME的正弦值求出，进而可根据三角形的面积公式求出S、x的函数关系式．③当P在EF上运动时，即$\frac{3}{2}$≤x≤3，解法同上．
（3）①如图5中，当点G在线段CK上时，根据S_△HKG=S_△DHE+S_{四边形DECK}-S_△HEG-S_△BCG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$列出方程即可解决．②如图6中，当点G在线段AK上上，根据S_△HGK=S_△HEG+S_△ECG-S_△EDH-S_{四边形DECK}=$\frac{\sqrt{3}}{2}$列出方程即可解决．

解答 解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H，由题意等边三角形的边长为CH，

∵∠c=90°∠A=60°，
∴∠B=30°，∠ACH=30°，
∴∠ADC=90°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AC，
∵BC=6，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴AH=$\sqrt{3}$，
∴CH=$\sqrt{3}$AH=3．
∴△DEF的边长为3．
（2）如图2中，在Rt△DMN中，DM=3-x，MN=（3-x）×cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-x），
当P点运动到M点时，有2x+x=3，
∴x=1
①如图2中，当P点在DM之间运动时，过P点作PP₁⊥AB，垂足为P₁，

在Rt△PMP₁中，∵∠PP₁M=90°，PM=3-x-2x=3-3x，∠PMP₁=30
∴PP₁=$°\frac{1}{2}$PM=$\frac{1}{2}$（3-3x）=$\frac{3}{2}$（1-x），
∴y与x的函数关系式为：y=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-x）×$\frac{3}{2}$（1-x）=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$（x²-4x+3）（0≤x＜1），（x=1时，三角形不存在）
②如图3中，当P点在ME之间运动时，过P点作PP₂⊥AB，垂足为P₂，

在Rt△PMP₂中，∵∠PP₂M=90°，PM=x-（3-2x）=3（x-1），∠PMP₂=30°，
∴PP₁=$\frac{3}{2}$（1-x），
∴y与x的函数关系式为：y=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-x）×$\frac{3}{2}$（1-x），
=-$\frac{3\sqrt{3}}{8}$（x²-4x+3）（1＜x≤$\frac{3}{2}$）．
③如图4中，当P点在EF之间运动时，过P点作PP₃⊥AB，垂足为P₃，

在Rt△PMP3中，PB=x+（2x-3）=3（x-1），
∴PP₃=$\frac{3}{2}$（x-1），
∴y与x的函数关系式为：y=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-x）×$\frac{3}{2}$（x-1），
=-3$\frac{3\sqrt{3}}{8}$（x²-4x+3）（$\frac{3}{2}$≤x≤3），
（3）①如图5中，当点G在线段CK上时，∵∠KCD=∠KDC=30°，∠A=∠ADK=60°，
∴DK=AK=KC=$\sqrt{3}$，
∵S_△HKG=S_△DHE+S_{四边形DECK}-S_△HEG-S_△BCG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（9+x²）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴x²=1，
∵x＞0，
∴x=1．
∴CG=1

②如图6中，当点G在线段AK上上，∵S_△HGK=S_△HEG+S_△ECG-S_△EDH-S_{四边形DECK}=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$（9+x²）-3$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴x²=5，
∵x＞0，
∴x=$\sqrt{5}$．
∴CG=$\sqrt{5}$．

综上所述若△HGK的面积等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，CG=1或$\sqrt{5}$．

点评 本题考查几何变换综合题、直角三角形30度角的性质、三角形面积公式、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，正确画出图象，学会利用分割法求三角形面积，属于中考压轴题．