Question

17．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，且AB=AD，则∠ABC的度数为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$∠D-90°
• B． 90°-$\frac{1}{2}$∠D
• C． 180°-∠D
• D． 3∠D-180°

Answer 1

分析 由内心的性质和圆周角定理可证得∠BAD=∠CBD由等腰三角形的性质得到∠ABD=∠D，即∠BAD=∠CBD=180°-2∠D，再由三角形内角和定理化简即可推得结论．

解答 解∵E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD，
设∠BAD=∠CBD=x，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠D，
∴x=180°-2∠D，
在△ABD中，∠BAD+∠ABD+∠D=180°，
即∠ABC+x+x+∠D=180°，
∴∠ABC+2（180°-2∠D）+∠D=180°，
∴∠ABC=3∠D-180°，
故选D．

点评 本题主要考查三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形内角和，掌握三角形的内心即三角形三条内角平分线的交点是解题的关键．