Question

6．阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点P的坐标为（x_p，y_p）．由x_p-x₁=x₂-x_p，得x_p=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，同理y_p=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，所以AB的中点坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．由勾股定理得AB²=|x₂-x₁|₂+|y₂-y₁|²，所以A、B两点间的距离公式为AB=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$．这两公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题：
（1）已知M（1，-2），N（-1，2），直接利用公式填空：MN中点坐标为（0，0），MN=2$\sqrt{5}$．
如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x²交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．
（a）求A、B两点的坐标及C点的坐标；
（b）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；
（c）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．

Answer 1

分析 （1）根据中点坐标公式，两点间的距离公式，可得答案；
（a）根据解方程组，可得A，B点坐标，根据中点坐标公式，可得P点坐标，根据平行于y轴的直线横坐标相等，可得C点横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标；
（b）根据勾股定理及勾股定理的逆定理，可得答案；
（c）根据三角形的面积不同表示，可得关于CD的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）由中点坐标，得$\frac{1+（-1）}{2}$=0，$\frac{2+（-2）}{2}$=0，
MN中点坐标为（0，0），
由两点间的距离，得
MN=$\sqrt{（1+1）^{2}+（-2-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故答案为：（0，0），2$\sqrt{5}$．

（a）联立直线、抛物线，得$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=2{x}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\\{y=3+\sqrt{5}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\\{y=3-\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
即B（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，3+$\sqrt{5}$），A（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，3-$\sqrt{5}$）．
由P是AB的中点，得
P（$\frac{1}{2}$，3）
当x=$\frac{1}{2}$时，y=2x²=$\frac{1}{2}$，即C点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

（b）AB²=（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$-$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）²+（3+$\sqrt{5}$-3+$\sqrt{5}$）²=25；
BC²=（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$-$\frac{1}{2}$）²+（3+$\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{25}{2}$-5$\sqrt{5}$；
AC²=（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$-$\frac{1}{2}$）²+（3-$\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{25}{2}$+5$\sqrt{5}$，
∵AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°
∴△ABC是直角三角形；

（c）如图，
作CD⊥AB于D点，CD 是两直线间的距离，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AC•BC，
$\frac{1}{2}$×5CD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{25}{2}+5\sqrt{5}}$×$\sqrt{\frac{25}{2}-5\sqrt{5}}$，
解得CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
两直线l与l′的距离是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用中点坐标公式，两点间的距离公式；解a的关键是利用中点坐标公式得出P点坐标，又利用了平行于y轴的直线横坐标相等，自变量与函数值的对应关系；解b的关键是利用勾股定理及勾股定理的逆定理，解c的关键是利用面积的不同表示法．