Question

17．如果有两点到一条直线的距离相等，那么称这条直线为“两点的等距线”．
（1）如图1，直线CD经过线段AB的中点P，试说明直线CD是点A、B的一条等距线．
（2）如图2，A、B、C是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“A、B的等距线”．
（3）如图3，抛物线y=-x²+bx+c过点A（1，-2），B（3，-1），顶点为C．抛物线上是否存在点P，使S_△APC=S_BPC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足为E，F，利用AAS证明△AEP≌△AFP，得到AE=BF即可证明直线CD是点A、B的一条等距线；
（2）根据两点等距线的定义直接作出图形；
（3）首先利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后由S_△APC=S_BPC可得A、B两点到直线PC的距离相等，再分两类进行讨论，即可求出点P的坐标．

解答 （1）证明：分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足为E，F，
∴∠AEP=∠BFP=90°，
∵P是AB中点，
∴AP=BP，
在△AEP和△AFP，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠BFP=90°}\\{∠APE=∠BPF}\\{AP=BP}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△AFP（AAS）                       
∴AE=BF，即直线CD是点A、B的一条等距线．

（2）如图2，直线m₁、m₂就是所有的直线；

（3）由题意可知$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=-2}\\{-9+3b+c=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{2}}\\{c=-\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线为y=-x²+$\frac{9}{2}$x-$\frac{11}{2}$，
∵S_△APC=S_△BPC，
∴A、B两点到直线PC的距离相等，
①当PC∥AB时，计算得直线AB解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，直线CP解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{25}{16}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+\frac{9}{2}x-\frac{11}{2}}\\{y=\frac{1}{2}x-\frac{25}{16}}\end{array}\right.$
解得x₁=$\frac{7}{4}$，x₂=$\frac{9}{4}$；
∴点P（$\frac{7}{4}$，-$\frac{11}{16}$），
②当直线CP过AB中点时，易求AB中点E（2，-$\frac{3}{2}$），直线CE解析式为y=$\frac{17}{4}$x-10，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+\frac{9}{2}x-\frac{11}{2}}\\{y=\frac{17}{4}x-10}\end{array}\right.$，
解得x₁=-2，x₂=$\frac{9}{4}$；
∴点P（-2，-$\frac{37}{2}$），
综上所述，存在点P（$\frac{7}{4}$，-$\frac{11}{16}$） 或（-2，-$\frac{37}{2}$） 使S_△APC=S_BPC．

点评 本题主要考查了二次函数综合题的知识，此题涉及到点到直线的距离、待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式以及抛物线与直线的交点等知识，解答本题的关键是理解两点间的等距线的定义，此题有一定的难度．