Question

11．设f（x）是关于x的多项式，f（x）除以2（x-1），余式是3；2f（x）除以3（x+2），余式是-4，求3f（x）除以4（x²+x-2）的余式．

Answer 1

分析 根据“f（x）除以2（x-1），余式是3；2f（x）除以3（x+2），余式是-4”，可得出f（x）=2（x-1）P（x）+3①、2f（x）=3（x+2）Q（x）-4②，根据②式可得出f（-2）=-2，将其代入①中可得出6P（x）=（x+2）R（x）+5③，将①式的两边同时乘3即可得出3f（x）=（x-1）（x+2）R（x）+（5x+4），再在两边同时除以4（x-1）（x+2）即可得出：$\frac{3f（x）}{4（{x}^{2}+x-2）}$=$\frac{R（x）}{4}$+$\frac{5x+4}{4}$，由此即可得出结论．

解答 解：∵f（x）除以2（x-1），余式是3，
∴必有f（x）=2（x-1）P（x）+3①（P（x）为关于x的多项式），
同理：必有2f（x）=3（x+2）Q（x）-4②（Q（x）为关于x的多项式）．
由②可知，当x=-2时，2f（-2）=-4，
∴f（-2）=-2．
∴f（-2）=2×（-2-1）P（-2）+3=-2，
∴6P（-2）=5，即6P（x）除以（x+2），余5，
∴6P（x）=（x+2）R（x）+5③（R（x）为关于x的多项式）．
由①可知，3f（x）=6（x-1）P（x）+9，
∴3f（x）=（x-1）[（x+2）R（x）+5]+9=（x-1）（x+2）R（x）+5（x-1）+9=（x-1）（x+2）R（x）+（5x+4）．
在3f（x）=（x-1）（x+2）R（x）+（5x+4）两边同时除以4（x-1）（x+2）可得：$\frac{3f（x）}{4（{x}^{2}+x-2）}$=$\frac{R（x）}{4}$+$\frac{5x+4}{4}$，
故3f（x）除以4（x²+x-2）的余式为$\frac{5x+4}{4}$．

点评 本题考查的整式的除法，解题的关键是根据整式的除法找出$\frac{3f（x）}{4（{x}^{2}+x-2）}$=$\frac{R（x）}{4}$+$\frac{5x+4}{4}$．