Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点P是AB边中点，∠MPN=90°，∠MPN绕点P旋转．
（1）如图1，在旋转过程中，PM、PN分别与边AC、CB相交于点D、E，求证：PD=PE；
（2）如图2，在旋转过程中，PM，PN分别与边AC、CB的延长线相交于点D、E．PD=PE还成立吗？请说明理由；
（3）在（1）中，若△PAD是等腰三角形，请直接写出使△PAD是等腰是三角形时的CE长．

Answer 1

分析 （1）连接PC，通过证明△PCD≌△PBE，得出PD=PE；
（2）PM，PN分别与边AC、CB的延长线相交于点D、E．PD=PE还成立，连接PC，通过证明△PCD≌△PBE，得出PD=PE；
（3）分三种情况探讨：①AD=AP=$\sqrt{2}$；②DA=DP=1；③PA=PD=$\sqrt{2}$；得出答案即可．

解答 （1）证明：如图1，

连接PC，
∵∠C=90°，AC=BC，P是AB中点，
∴∠A=∠B=∠PCA=45°，AP=PB=PC，
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，
∴∠DPC=∠BPE．
在△DPC和△EPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCD=∠B}\\{PC=PB}\\{∠DPC=∠EPB}\end{array}\right.$，
∴△DPC≌△EPB（ASA），
∴PD=PE．     

（2）PD=PE还成立．
理由：如图2，

连接PC，
∵∠C=90°，AC=BC，P是AB中点，
∴∠A=∠PBC=∠PCA=45°，AP=PB=PC，
∴∠PCD=∠PBE，
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，
∴∠DPC=∠BPE．
在△DPC和△EPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCD=∠PBE}\\{PC=PB}\\{∠DPC=∠BPE}\end{array}\right.$，
∴△DPC≌△EPB（ASA），
∴PD=PE．     

（3）分三种情况讨论如下：
①AD=AP=$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$；
②DA=DP=1时，CE=1；
③PA=PD=$\sqrt{2}$时，点B与点E重合，即CE=2．

点评 本题考查了几何变换综合题，掌握旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角的判定与性质是解决问题的关键，注意分类讨论思想的渗透．