如图.O为菱形ABCD对角线的交点.M是射线CA上的一个动点.过点A.C分别向直线BM作垂线段.垂足分别为E.F.连接OE.OF．(1)①依据题意补全图形,②猜想OE与OF的数量关系为OE=OF．(2)小东通过观察.实验发现点M在射线CA上运动时.(1)中的猜想始终成立．小东把这个发现与同学们进行交流.通过讨论.形成了证明(1)中猜想的几种想法:想� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．

如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C，O，A都不重合），过点A，C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E，F，连接OE，OF．
（1）①依据题意补全图形；
②猜想OE与OF的数量关系为OE=OF．
（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．
小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：
想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；
想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．
…
请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．
（3）当∠ADC=120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是EF=$\sqrt{3}$（CF+AE）．

分析（1）①由题意直接补全图形，②结论是OE=OF，
（2）方法1、先判断出△AOE≌△CON，再利用直角三角形的性质即可得出结论；
方法2、利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得出结论；
（3）判断出△NOF是等边三角形，再借助直角三角形的性质即可得出结论．

解答解：（1）①补全的图形如图所示．

②OE=OF．

（2）法一：
证明：如图1，
延长EO交FC的延长线于点N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO．
∵AE⊥BM，CF⊥BM，
∴AE∥CF．
∴∠AEO=∠CNO．
又∵∠AOE=∠CON，
∴△AOE≌△CON．
∴OE=ON=$\frac{1}{2}EN$．
∵Rt△EFN中，O是斜边EN的中点，
∴OF=$\frac{1}{2}EN$．
∴OE=OF．
法二：
证明：如图2，
取线段AB，BC的中点P，Q，连接OP，PE，OQ，QF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD．
∵P，Q是AB，BC的中点，
∴$OP=PB=\frac{1}{2}AB$，$OQ=QB=\frac{1}{2}BC$．
∴OP=OQ．
同理，PE=QF．
∵OP=PB，PE=PB，
∴∠OPA=2∠OBA，∠EPA=2∠EBA．
∴∠OPA+∠EPA=2∠OBA+2∠EBA，即∠OPE=2∠OBE．
同理，∠OQF=2∠OCF．
∵AC⊥BD，CF⊥BM，
∴∠OBE+∠OMB=∠OCF+∠OMB=90°．
∴∠OBE=∠OCF．
∴∠OPE=∠OQF．
∴△OPE≌△OQF．
∴OE=OF．
（3）如图1，
由（2）方法一、得出△AOE≌△CON，
∴AE=CN，OE=ON，
由（2）知，OE=OF，∴OF=ON，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=∠ADC=120°，
∴∠ABE+∠CBF=60°，
∵∠AOB=∠AEB=90°，
∴点A、E、B、O共圆，
∴∠AOE=∠ABE，
同理：∠COF=∠CBF，
∴∠NOF=∠NOC+∠COF=∠AOE+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°，
∵OF=ON，
∴△FON是等边三角形，
∴∠ONF=60°，
∴∠FEN=30°，
在Rt△EFN中，∠FEN=30°，
∴EF=$\sqrt{3}$FN=$\sqrt{3}$（CF+CN）=$\sqrt{3}$（CF+AE）．
故答案为：$EF=\sqrt{3}（CF+AE）$．

点评此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质性质，解（2）的关键是构造全等三角形，解（3）的关键是判断出△OFN是等边三角形，是一道中考常考题．

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