Question

19．如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=12，高AD=10，矩形EFPQ的一边QP边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：$\frac{AH}{AD}=\frac{EF}{BC}$；
（2）设BF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出EF∥QP，再由AD⊥BC可得出AH⊥EF，进而可得出结论；
（2）先用x表示出AH的长，再由S_矩形EFPQ=EF•EQ可得出二次函数的解析式，进而可得出结论；
（3）先求出PC及QC的长，再分0≤t≤5，5≤t＜6及6≤t≤11三种情况进行讨论即可．

解答 （1）证明：∵四边形EFPQ是矩形，
∴EF∥QP．
∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF，
∴$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$；

（2）解：∵由（1）得，$\frac{AH}{10}$=$\frac{x}{12}$，
∴AH=$\frac{5}{6}$x，
∴EQ=HD=AD-AH=10-$\frac{5}{6}$x，
∴S_矩形EFPQ=EF•EQ=x（10-$\frac{5}{6}$x）=-$\frac{5}{6}$x²+10x=-$\frac{5}{6}$（x-6）²+30，
∵-$\frac{5}{6}$＜0，
∴当x=6时，S_矩形EFPQ有最大值，最大值为30．

（3）解：如图1，由（2）得，EF=6，EQ=5，
∵∠C=45°，
∴△FPC是等腰直角三角形，
∴PC=PF=EQ=5，QC=QP+PC=11，
分三种情况进行讨论：
①如图2所示，当0≤t≤5时，设EF、PF分别交AC于点M，则△MFN是等腰直角三角形，
∴FN=MF=t，
∴S=S_矩形EFPQ-S_△MFN=30-$\frac{1}{2}$t²=-$\frac{1}{2}$t²+30；
②如图3，当5≤t＜6时，则ME=6-t，QC=11-t，
∴S=S梯形EMCQ=$\frac{1}{2}$[（6-t）+（11-t）]×5=-5t+$\frac{85}{2}$；
③如图4，当6≤t≤11时，设EQ交AC于点K，则△KQC是等腰直角三角形，则KQ=QC=11-t，
∴S=S_△KQC=$\frac{1}{2}$（11-t）²，
综上所述，S与t的函数关系式为：
$S=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}{t}^{2}+30（0≤t＜5）\\-5t+\frac{85}{2}（5≤t＜6）\\ \frac{1}{2}（t-1）^{2}（6≤t≤11）\end{array}\right.$．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值问题，在解答（3）时要注意进行分类讨论．