Question

14．在矩形ABCD中有一个菱形BEDF（点E、F分别在线段AB、CD上）记它们的面积分别为S_矩形ABCD和S_菱形BEDF，若S_矩形ABCD：S_菱形BFDE=（2+$\sqrt{3}$）：2，给出如下结论：①AB：BE=（2+$\sqrt{3}$）：2；②AE=BE；③tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；④∠FBC=60°．其中正确的结论的序号是①③④（把所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 由图可得矩形的宽和菱形的高相等，根据它们的面积关系即可得出AB：BE的值；根据AE：BE=（2+$\sqrt{3}$）：2，可得AE=BE错误；由菱形的性质得出DE∥BF，DE=BE，得出∠BFC=∠EDF，由三角函数求出∠ADE=60°，得出∠ADC=∠C=90°，求出∠EDF=30°，即可得到tan∠EDF的值；根据∠BFC=30°，即可得出∠FBC=60°；最后得出正确的结论．

解答 解：如图所示，∵S_矩形ABCD：S_菱形BFDE=$\frac{AB•BC}{BE•BC}$=（2+$\sqrt{3}$）：2，
∴AB：BE=（2+$\sqrt{3}$）：2，
故①正确；
∵AB：BE=（2+$\sqrt{3}$）：2，
∴AE：BE=$\sqrt{3}$：2，
故②错误；
∵四边形BFDE是菱形，
∴DE∥BF，DE=BE，
∴∠BFC=∠EDF，
∵sin∠ADE=$\frac{AE}{DE}$=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ADE=60°，
∵∠ADC=∠C=90°，
∴∠EDF=90°-60°=30°，
∴tan∠EDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故③正确；
∵DE∥BF，
∴∠BFC=30°，
∴∠FBC=90°-30°=60°，
故④正确；
综上所述，正确的结论为①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、菱形的性质、三角函数等知识的综合应用，熟练掌握矩形和菱形的性质，由矩形和菱形的性质得出AB：BE的值是解决问题的关键．