Question

2．如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A，C分别落在点A′、C′处，并且点A′，C′，B在同一条直线上，则tan∠ABA′的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 设AB=x，由矩形的性质和旋转的性质可知AB=C'D=x，A'C=A'D+CD=x+2，由已知条件易证△AC'D∽△ABC，由相似三角形的性质可求出x的值，在直角三角形ABC'中即可求出tan∠ABA′的值．

解答 解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠A=90°，C'D∥BC，
∵将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，
∴AB=C'D，BC=B'C'=AD=2，
设AB=x，则AB=C'D=x，A'C=A'D+CD=x+2，
∵C'D∥BC，
∴△AC'D∽△ABC，
∴C'D：BC=AD：DC，
即x：2=2：x+2，
解得：x=-1+$\sqrt{5}$或x=-1-$\sqrt{5}$（小于0，不合题意，舍去），
∴AC'=2-C'D=2-（-1+$\sqrt{5}$）=3-$\sqrt{5}$
∴tan∠ABA′=$\frac{AC′}{AB}$=$\frac{3-\sqrt{5}}{-1+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题主要考查矩形的性质、旋转的性质及三角函数的定义，利用旋转的性质和相似三角形的性质求得矩形的宽是解题的关键．